三、平均值

在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌。例如：对某一零件的长度进行n次测量，每次测得的值为

。通常用算术平均值

作为这个零件长度的近似值。 然而，有时还需要计算一个连续函数 我们已经知道，速度为

在区间

上的一切值的平均值。

上所经过的路程为

的物体作直线运动，它在时间间隔

用

去除路程s，即得它在时间间隔

上的平均速度，为

一般地，设函数 的定积分除以区间

在区间 的长度b-a，即

上连续，则它在

上的平均值

，等于它在

上

图 5-33

这个公式叫做函数的平均值公式。它可变形为

它的几何解释是：以 积（见图5-33）

1

图 5-34

的同底矩形的面

为底、 为曲边的曲边梯形面积，等于高为

例6 求从O到T这段时间内自由落体的平均速度。 解 ： 自由速度为

。所以要计算的平均速度（见图5-34）为

例7 计算纯电阻电路中正弦交流电

解 设电阻为R，那么电路中R两端的电压为

在一个周期内功率的平均值。

而功率

因为交流电 的周期为 ，所以在一个周期 上，P的平均值为

就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流和电压的峰值乘积的一半。通常交流电器上标明的功率是平均功率。

四、定积分在经济上的应用举例

定积分在经济活动中应用很广泛。如，已知某经济函数的边际函数的条件下，求原经济函数的改变量时，就需用定积分来解决。

例8 设某工厂生产某产品，边际产量为时间t的函数，已知

2

求从t=1到t=3这两个小时的总产量。 解：因为总产量 是

（千件）

例9 已知生产某产品x件的边际收入是

是它的边际产量

的原函数。所以，从t=1到t=3这两小时的总产量

( 元/件 )

求生产此产品1000件时的总收入，平均收入，及生产1000件到2000件时所增加的收入和平均收入。 解：设总收入函数为

，总产量为1000件时的总收入R（1000），为

平均收入

产量从1000件到2000件所增加的收入为，

其平均收入为

例10 设某产品的总成本C（单位：万元）的边际成本是产量x（单位：百台）的函数，

总收入

（单位：万元）的边际收入是产量x的函数

，

;

求：1）产量由1百台增加到5百台总成本，总收入各增加多少？

2）已知固定成本C（0）为1万元，分别求出总成本、总收入，总利润与产量的关系式。 3）产量为多少时总利润最大？此时总利润、总成本、总收入各是多少？ 解：1）产量由1百台增加到5百台总成本和总收入分别增加

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