河南师范大学新联学院 学号：0901174099 本科毕业论文

函数项级数一致收敛的判别

专业名称： 数学与应用数学 年级班别： 2009级1班 姓 名： 张庆明 指导教师： 左红亮

2013年04月

河南师范大学新联学院本科毕业论文

函数项级数一致收敛的判别

摘 要：函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题。 本文则在数项级数的基础上, 分析函数项级数的收敛性定义及其判定, 函数项级数的分析性质和函数的一致收敛有关。而因此本论文中提出了函数级数一致收敛的定义, 柯西一致收敛准则, 魏尔斯特拉斯判别法(M判别法), 狄利克雷判别法, 阿贝尔判别法, 余项判别法, 积分判别法。本文对函数项级数一致收敛的判别法进行推广, 主要归纳总结出了对数判别法, 导数判别法, 连续性判别法, 逼敛性判别法以及M判别法的推论等几种判别法, 同时并应用函数项级数一致敛的定义, 重要判别法及其充要条件给出了论文中一些结论的证明。

关键词：函数项级数；一致收敛性；判别法。

Discrimination of uniform convergence of function series

Abstract: The uniform convergence of function series is the concept of series of functions are the most basic and most important problem. In this paper, on the basis of a number of series, the definitions of convergence of function series and its decision, uniform convergence analysis of properties and functions related to the function of series. Therefore, this paper proposes a definition of uniform convergence of function series, Cauchy uniform convergence criteria the Weierstrass discrimination method (M identification method), Dirichlet discrimination law, Abel discriminant law, the remainder discriminant method, integration criterion method and article on the function series convergence discriminant method to promote mainly summarized Diagnostic Method derivative test, continuity discrimination law, forcing several discriminant method of convergence discrimination law and M inference of discrimination law, and apply function series consistent definition of convergence, it is important discrimination method and the necessary and sufficient conditions are given some proof of the conclusion of the paper.

Keywords: Function Series; uniform convergence; discrimination law.

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前 言

一致收敛性是函数项级数的一个重要性质, 有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。判别函数项级数的一致收敛时，通常用到柯西准则,M-判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法，莱布尼兹判别法或者直接根据一致收敛的定义进行判别。 而本文在给出这些判别法的同时并对函数项级数一致收敛的定义，柯西判别法，M-判别法，阿贝尔判别法，莱布尼兹判别法加以补充和推广，从而给判别函数项级数一致收敛提供了方便。函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广, 同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例, 它们在研究内容上有许多相似之处。对于函数项级数, 我们不仅要讨论它在哪些点上收敛, 而且更重要的是要研究和函数所具有的解析性质. 比如能否由函数项级数的每项连续、可积、可微, 判断出和函数的连续性、可积性和可微性。 这些都要对函数项级数的收敛性提出更高的要求。 即函数项级数的一致收敛性。 文献[1]讨论了函数项级数一致收敛的基本判别法, 给出了一致收敛的定义和莱布尼茨判别法; 文献[6][7][8]给出了函数项级数一致收敛的重要判别法, 如阿贝尔、狄利克雷以及积分判别法; 文献[5][3]给出了函数项级数一致收敛的两个充要条件: 柯西准则, 余项定理, 并用上述方法判别一致收敛以及证明其它的一些定理; 文献[10]对该问题进行了推广, 得到了比试和根式判别法, 同时也有其它一些文献, 得到了一些其它的结论。本文结合上述文献, 总结出了函数项级数一致收敛的其它判别法, 如对数判别法, 导数判别法, M判别法的推论等, 并给出了一些判别法的证明, 此外也用一些例题验证它的可行性。

1. 函数项级数一致收敛的定义

定义1[1] 设{un(x)}是定义在数集Ｅ上的一个函数列, 表达式

u1(x)?u2(x)?u3(x)??un(x)??x?E, (1)

称为定义在定义域Ｅ上的函数项级数, 简记为?un(x)或?un(x)。称

n?1Sn(x)??uk(x), x?E n?1,2,3,k?1n , (2)

为函数项级数(1)的部分和函数列。 若x0?E, 数项级数 u1(x)?u2(x)?u3(x)?

?un(x)?2

x?E , (3)