2019年高中数学单元测试卷

立体几何初步

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、填空题

1．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC?2，若AD?2c，且AB?BD?AC?CD?2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最

大值是 。

2．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，若AB?BC?3,AA1?4，求A1B和B1C所成角的余弦值。

3．空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且

CFCG2??，若BD＝6cm,梯形EFGH的面积为28cm2。则平行线EH、FG间的距离为 CBCD3

4．已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm的钢球，则球心到盒底的距离为 cm.

5．设?,?为互不重合的平面，m,n为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m??,n??,则m?n；

②若m??,n??,m∥?,n∥?，则?∥?； ③若???,????m,n??,n?m,则n??； ④若m??,???,m//n,则n//?． 其中正确命题的序号为

6．已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB?4，若OM?ON?3，则两圆圆心的距离MN? ▲ ．

7．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90?，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E为PA的中点． （1）证明：DE∥平面PBC； （2）证明：DE⊥平面PAB．

8．设ABCD?A1B1C1D1为一正方体，E、F分别为BB1、DC的中点，则AE与D1F所成的角为______________

9．设a,b是两条不同直线，?,?是两个不同平面，给出下列四个命题： ①若a?b,a??,b??，则b//?； ②若a//?,???，则a??； ③若a??,???，则a//?或a??； ④若a?b,a??,b??则???． 其中正确的命题是 ▲ （请把所有正确命题的序号都填上）．

10．已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题： ①若α⊥β，m⊥α，则m∥β； ②若m⊥α，m⊥β，则α∥β； ③若m∥α，m⊥n，则n⊥α； ④若m∥α，m?β，则α∥β． 其中所有真命题的序号是 ▲ ． 答案: ②

11．三个球的半径之比是1:2:3，则其中最大的一个球的体积与另两个球的体积之和的比是 ▲ ．

12．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为23，则四面体A?B1CD1的外接球的体积为 ．13．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，与AD1平行的表面的对角线有 条

14．如图BC是Rt⊿ABC的斜边，过A作⊿ABC所在平面 ?垂线AP，连PB、PC，过A作

AD⊥BC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数 个

15．如图所示，在棱长为2的正方

??A C

D

B

P

体

别为DD1、DB的

D1C1B1EABCD?A1B1C1D1中，E、F分

中点．

（1）求证：EF//平面ABC1D1； （2）求证：EF?B1C； （3）求三棱锥B-FB1C的体积．

AA1DFBC16．如果一条直线l与平面?的一条垂线垂直，那么直线l与平面?的位置关系是__________；

17．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中 点，若EF＝3，则AD、BC所成的角为________． 解析：取AC的中点G，连接GE、GF，

∵E、F、G分别为AB、CD、AC的中点，AD＝CB＝2，∴EG＝GF ＝1，EG∥BC，FG∥AD.故AD、BC所成角α为∠EGF(或补角)．由

11

三角形余弦定理知cos∠EGF＝－，∴cos α＝，0°<α≤90°.故α＝60°.

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二、解答题

18．如图已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB=4，AD=3，AA1=5，

?BAA1??DAA1?600，求AC1的长.

D1 A1 D A B1 C

C1

B

19．（理科）在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA?面ABCD，z PA?2，点M，N分别为边PA，BC的中点．建立如图所示的直角坐标系A-xyz． P （1）求异面直线AN与MD所成角的余弦值； （2）求点B到平面MND的距离．

??ABCD20．如图，在四棱锥P中，底面ABCD为菱形，?，Q为AD的中BAD?60M A B x C N （第18题图）

D y 点．

（1）若P，求证：平面PQB?平面PAD； A?PDM?tPC（2）点M在线段PC上，P，试确定的值，使PA//平面MQB．(本小题满

分16分)

21．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BC,BC?BC1,AB?BC1，E,F分别为线段

AC1,A1C1的中点.

（1）求证：EF//面BCC1B1；