第12讲 数列的递推

本节主要内容两个基本递推：a＝a＋d，a＝qa；线性递推，二阶或高阶递推的特征方程与特征根；其他递推．

n＋1

n

n

n

1．基本概念：

①递归式：一个数列{an}中的第n项an与它前面若干项an?1，an?2，?，an?k（k?n）的关系式称为递归式．

②递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列． 2．常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等． 3．思想策略：构造新数列的思想． 4．常见类型： 类型Ⅰ：??an?1?p(n)an?q(n)(p(n)?0)（一阶递归）

?a1?a(a为常数）其特例为：（1）an?1?pan?q(p?0) （2）an?1?pan?q(n)(p?0) （3）an?1?p(n)an?q(p?0)

解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列．

①形如an?1?an?q(n)的递归式,其通项公式求法为：an?a1??(ak?1?ak)?a1??q(k)k?1k?1n?1n?1来源:Zxxk.Com] ：

②形如

a2a3??a1a2an?1?p(n)an的递归式,其通项公式求法为

an?a1?an?a1?p(1)?p(2)an?1p(n?1)

③形如an?1?pan?q(n)(p?1)的递推式,两边同除以pn?1得句可转化为①来处理. 类型Ⅱ：??an?2?pan?1?qan(p?0,q?0)（二阶递归）

a?a,a?b(a,b为常数）2?1anan?1anq(n)?bn则??,令pnpn?1pnpn?1解题方法：利用特征方程x2?px?q，求其根?、?，构造an?A?n?B?n，代入初始值求得

A,B．

①若p+q=1时，有an?1?an??q(an?an?1)可知{an?1?an}是等比数列，先求得an?1?an，再求出

an.

②若p+q≠l，则存在α，β满足an?1??an??(an?an?1)整理得an?1?(???)an???an?1从而α+β=p， αβ=q，可解出α、β，这样可先求出{an?1??an}的通项表达式，再求出an. 注意α、β实质是二次方程x2?px?q的两个根，将方程x2?px?q叫做递归式

an?2?pan?1?qan的特征方程．

在数列{an}中，给出a1, a2，且an?2?pan?1?qan ，它的特征方程x2?px?q的两根为α与β．如果α≠β，则an?A?n?B?n；如果α=β则an?(An?B)?n，其中A与B是常数，可由初始值a1,a2 求出．

类型Ⅲ. 如果递归数列{an}满足 an+1?aan?b,其中c≠0,ad－bc≠0,以及初始值a0≠f(a1),则

can?d称此数列为分式线性递归数列.我们称方程x?ax?b的根为该数列的不动点.若该数列有两个

cx?d相异的不动点p、q，则 {an?p1}为等比数列；若该数列仅有惟一的不动点p，则{}是an?qan?p等差数列·

5.求递归数列通项的常用方法有：换元法、特征根法、数学归纳法等．

A类例题 例1 一给定函数y?f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1?(0,1)，由关系式

an?1?f(an)

得到的数列{an}满足an?1?an(n?N*)，则该函数的图象是( )(2005年辽

宁卷) y 1 O y 1 y 1 y 1 x 1 O 1 x O 1 x O 1 x （A） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 分析 利用递推式意义及数形结合,分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断． 解 由an?1?f(an)，an?1?an，得f(an)?an，即f(x)?x，故选A ． 例2已知数列{an}中a1?1，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,??． （I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式． (2004年全国高考题)

分析 由于给出两个递推关系与奇数项、偶数项有关,因此因从奇数项或偶数项之间的关系入手.

解（I）a2=a1+(－1)1=0, a3=a2+31=3．a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13． (II) a2k+1=a2k+3k= a2k－1+(－1)k+3k,

kk

所以a2k+1－a2k－1=3+(－1),

－－

同理a2k－1－a2k－3=3k1+(－1)k1, ??

a3－a1=3+(－1)．

所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+?+(a3－a1)

－－

=(3k+3k1+?+3)+[(－1)k+(－1)k1+?+(－1)], 由此得a2k+1－a1=

3k1(3－1)+[(－1)k－1], 22

3k?11?(?1)k?1. 于是a2k+1=22k3k11k－1k3?(－1)－1+(－1)=?(－1)k=1． a2k= a2k－1+(－1)=

2222k

{an}的通项公式为： 当n为奇数时，an=3n?122n2?(?1)n?121??1; 2当n为偶数时，an?3?(?1)2?1?1.

22n说明 这种给出递推关系,求通项公式问题,一般是转化为等差数列或等比数列,或者通过观察、归纳,或者通过顺次迭代,以求通项公式.

情景再现

1．已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋n－2(n≥2)，求通项an. (2004年四川省高中数学联赛)

来源学科网Z|X|X|K]x1x（b,c为常数），若f(2)?，且f(x)??0只有唯一实数根 bx?c22（1）求f(x)的解析式

2．设f(x)?（2）令a1?1,an?f(an?1)求数列?an?的通项公式.

B类例题 例3 (1)一次竞赛在n(n＞1)轮中共发了m枚奖章．第一轮发了1枚及余下的m －1枚的第2轮发了2枚及余下的

1，71，?，直至第n轮正好发了n枚而没有余下奖章．这个竞赛共包7括几轮?一共发了多少枚奖章?

(第9届国际数学奥林匹克)

(2)把一个圆分成n个不同的扇形(n≥2)，依次记为S1，S2，?, Sn，每个扇形都可以用红、蓝、白三种颜色中任一种涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问有多少种涂法?

分析 第(1)题，每一轮发的奖章数具有一定规律，因而可以建立每一轮发的奖章数的关系或每一轮余下的奖章数的关系．第(2)题，设法建立涂法总数的递推关系和求得初始值，进而求得涂法总数．

解 (1)设竞赛进行了k轮后，余下ak枚奖章．因为第k 11

轮发出奖章数k+7(an－1 －k )具有ak＝ak－1－ [k+7(ak－1 －k )] 66

即ak＝ 7a k－1－7 k且a0=m, an=0.进一步变形为 6

ak+6k－36= 7[a k－1+6(k－1)－36]