观察下面两个试验：

(1)早上乘公交车去上学，公交车到站的时间可能是7：00至7：10分之间的任何一个时刻． (2)“神七”返回大陆时着陆场为方圆200 km的区域，而主着陆场为方圆120 km的区域，飞船在着陆场的任何一个地方着陆的可能性是均等的．

问题1：上述两个试验中的基本事件的结果有多少个？ 提示：无限个．

问题2：每个试验结果出现的可能机会均等吗？ 提示：是均等的．

问题3：上述两试验属古典概型吗？

提示：不属于古典概型，因为试验结果是无限个． 问题4：能否求两试验发生的概率？ 提示：可以求出．

1．几何概型的定义

对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．

2．几何概型的计算公式

在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件

2

2

d的测度A发生的概率P(A)＝．

D的测度

这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立

- 1 -

体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．

1．在几何概型中，“等可能”应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置、形状无关．

2．判断一试验是否是几何概型的关键是看是否具备两个特征：无限性和等可能性．

[例1] 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长大于AC的长的概率．

[思路点拨] 在AB上截取

AC′＝AC，结合图形分析适合条件的区域可求概率．

[精解详析] 设AC＝BC＝a， 则AB＝2a，

在AB上截取AC′＝AC， 于是P(AM>AC)＝P(AM>AC′) ＝

BC′AB－AC2a－a2－2

＝＝＝. ABAB22a2－2即AM的长大于AC的长的概率为.

2[一点通]

在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中确认边界是问题的关键．

- 2 -

1．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为________． 3－1.5

解析：P＝＝0.75.

3－1答案：0.75

11

2．已知函数f(x)＝log2x，x∈[，2]，在区间[，2]上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率

22为________．

1

解析：欲使f(x)＝log2x≥0，则x≥1，而x0∈[，2]，

2∴x0∈[1，2]，从而由几何概型概率公式知所求概率

P＝

2－12

＝. 132－

2

2答案：

3

[例2] (湖南高考改编)

如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内， 用

A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)＝________．

[思路点拨] 可判断为几何概型，利用面积比求其概率．

[精解详析] 圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH(区域d)的面积为(2)2＝2.又圆(区域D)的面积为π， 则由几何概型的概率公式，得P(A)＝.

π

[答案]

2 π

2

[一点通]

解决此类问题的关键是：

(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；

(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形．利用图形的几何特征计算相关面积．

3．射箭比赛的箭靶是涂有彩色的五个圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径为122 cm, 靶心直径为12.2 cm，运动

- 3 -