2020

第2课时 奇偶性的应用

学习目标：1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．

[合 作 探 究·攻 重 难]

用奇偶性求解析式

(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式； (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝

1

，求函数f(x)，g(x)的解析式. x－1

【导学号：37102167】

思路探究：(1)设x<0，则－x>0

当x>0――→求f－xx＝－x＋1

奇函数奇函数――→得x<0时fx的解析式――→

的性质

ff分段函数

0＝0――→fx的解析式

(2)f1用－x代式中xx＋gx＝――――――→

x－1

奇偶性1

得f－x＋g－x＝――→

－x－1得f得fx－g1解方程组

x＝－――→

x＋1

x，gx的解析式

[解] (1)设x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，f(x)＝－x－1. 又x＝0时，f(0)＝0， －x－1，x<0，??

所以f(x)＝?0，x＝0，

??－x＋1，x>0.

(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． 由f(x)＋g(x)＝

1

，① x－1

1

， －x－1

用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝

2020

1

∴f(x)－g(x)＝，②

－x－1(①＋②)÷2，得f(x)＝(①－②)÷2，得g(x)＝

1

； x－1

2

x2

x－1

.

母题探究：1.把本例(1)的条件“奇函数”改为“偶函数”，当“x>0”改为“x≥0”，再求f(x)的解析式． [解] 设x≤0，则－x≥0，则f(－x)＝x＋1. 又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝x＋1. ??x＋1，x≤0，故f(x)的解析式为f(x)＝??－x＋1，x>0.? 2．把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式． [解] ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)， 又f(x)＋g(x)＝1，① x－1用－x代替上式中的x，得 f(－x)＋g(－x)＝即f(x)－g(x)＝联立①②得 1， －x－11.② x＋1x1f(x)＝2，g(x)＝2. x－1x－1 [规律方法] 利用函数奇偶性求解析式的方法 1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. 2要利用已知区间的解析式进行代入. 3利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx. 提醒：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0＝0.

函数单调性和奇偶性的综合问题 [探究问题]

1．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？ 如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？

提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．

2020

2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？

提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．

3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？

提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.

角度一 比较大小问题

函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )

【导学号：37102168】

5??7??A．f(1)

7?5???B．f??

?7??5?C．f??

?2??2??5??7?D．f??

思路探究：y＝fx＋2是偶函数―→

f[0，2]上

x的图象关于x＝2对称――→比较大小

递增

B [∵函数f(x＋2)是偶函数，

?5??3??7??1?∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f??＝f??，f??＝f??，又f(x)在[0,2]上单调递增， ?2??2??2??2??1??3??7??5?∴f??

[规律方法] 比较大小的求解策略 看自变量是否在同一单调区间上. ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. [跟踪训练]

1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )

A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)

B．f(π)＞f(－2)＞f(－3) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)

A [由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.]

角度二 解不等式问题

已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________． (－1,3) [∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)，