2?(?0.5519)?3.72622?0.22II(0.5m,6h)?(?0.8239)e3.7262?(?0.5519)?(?0.8239)

II(0.5m,6h)?0.01

从例3-1中知第一项I(0.5m,6h)?0.38，所以忽略第二项时“和”的相对误差为：

II(0.5m,6h)0.01??2.6%

I(0.5m,6h)?II(0.5m,6h)0.38+0.01?(0.5m,6h)??0?I(0.5m,6h)?II(0.5m,6h)??(18?8)??0.38?0.01??3.9?C

t(0.5m,6h)???0.5m,6h??tf?3.9?8?11.9(?C)

虽说计算前两项后计算精度提高了，但11.9 oC和例3-1的结果11.8 oC相差很小。说明计算一项已经比较精确。

4-4 一无限大平壁，其厚度为0.3m，导热系数为?=36.4wm*k 。平壁

2C；h=60wm*k，tf1=25°两侧表面均给定为第三类边界条件，即1C。当平壁中具有均匀内热源h2=300wm2*k，tf2=215°qv=2×105W/m3时， 试计算沿平壁厚度的稳态温度分布。

（提示：取Δ

x=0.06m）

tf1=25°Ctf2=215°Ct1t2t3t4t5t6h2=300wm2*k

h1=60wm2*k

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方法一 数值计算法

解：这是一个一维稳态导热问题。

（1）、取步长Δx=0.06m，可以将厚度分成五等份。共用六个节点

t1t2t3t4t5t6将平板划分成六个单元体（图中用阴影线标出了节点2、

6所在的单元体）。用热平衡法计算每个单元的换热量，从而得到节点方程。 节点1：因为是稳态导热过程所以，从左边通过对流输入的热流量+从右边导入的热流量+单元体内热源发出的热流量=0。即

t2?t1??x?h1A?tf1?t1???A??A??qv?0 ??x2??节点2：从左、右两侧通过导热导入的热流量+单元体内热源发出的热流量=0。

t3?t2t1?t2???A???A??X?qv?0 ??A??X?X节点3：从左、右两侧通过导热导入的热流量+单元体内热源发出的热流量=0。

t2?t3t4?t3???A???A??X?qv?0 ??A??X?X节点4：从左、右两侧通过导热导入的热流量+单元体内热源发出的热流量=0。

t3?t4t5?t4???A???A??X?qv?0 ??A??X?X节点5：从左、右两侧通过导热导入的热流量+单元体内热源发出的热流量=0。

t4?t5t6?t5???A???A??X?qv?0 ??A??X?X节点6：从左边导入的热流量+从右边通过对流输入的热流量+单元体内热源发出的热流量=0。即

t5?t6??x?h2A?tf2?t6???A??A??qv?0 ??x2??12 / 32下载文档可编辑

22t=25°Ch=60wm*kh=300wm*k，?=36.4wm*k f1将、1、、2tf2=215°C、qv=2×105W/m3和Δx=0.06m，代入上述六个节点并化简

得线性方程组组1：

t1?0.91t2?11.25?0；t1?t3?2t2?19.78?0； t2?t4?2t3?19.78?0；t3?t5?2t4?19.78?0 t4?t6?2t5?19.78?0；t5?1.49t6?8.41?0

逐步代入并移相化简得：

t1?0.91t2+11.25， t2?0.9174t3+28.4679，

t3?0.9237t4+44.5667，t4?0.9291t5+59.785， t5?0.9338t6+74.297，t6?0.6453t6+129.096

则方程组的解为:

t1?417.1895， t2?446.087，t3?455.22 t4?444.575，t5?414.1535，t6?363.95

若将方程组组1写成：

11t1?0.91t2+11.25，t2??t1?t3?19.78?，t3??t2?t4?19.78?，

2211t4??t3?t5?19.78?，t5??t4?t6?19.78?，t6?0.691t5?77.757

22可用迭代法求解，结果如下表所示： 迭代次数 0 1 节点1 节点2 节点3 节点4 节点5 节点6 t1 t2 t3 t4 t5 t6 200.000 300．000 284.250 260.000 300．000 300．000 300．000 200．000 310.000 310.000 260.000 278.478 13 / 32下载文档可编辑

2 3 4 5 6 7 8 9 10 247.85 307.125 294.89 308.898 320.039 318.401 329.645 326.789 337.566 334.693 344.862 294.89 304.129 257.417 281.250 269.142 281.976 277.244 286.608 283.567 290.285 288.667 290.734 310.898 294.167 309.706 293.082 316.993 299.714 315.635 298.478 324.570 306.609 322.524 304.747 331.978 313.350 329.61 309.400 286.044 307.361 305.215 322.517 298.142 318.162 312.137 330.781 307.593 327.081 318.585 337.966 315.214 334.844 324.016 **从迭代的情况看，各节点的温度上升较慢，不能很快得出有效的解。可见本题用迭代法求解不好。

（2）、再设定步长为0.03m（Δx=0.03m），将厚度分成十等份，共需要11个节点。和上述原理相同，得出线性方程组组2 1t1?0.9529t2+3.534；t2??t1?t3?4.945?

211t3??t2?t4?4.945?；t4??t3?t5?4.945?

2211t5??t4?t6?4.945?；t6??t5?t7?4.945?

2211t7??t6?t8?4.945?；t8??t7?t9?4.945?

2211t9??t8?t10?4.945?；t10??t9?t11?4.945?

22t11?0.8018t10?44.6054

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同理求得的解为：

t1?402.9256，t2?419.13，t3?430.403，t4?436.746，t5?438.135，t6?434.6，t7?426.124；t8?412.706，t9?394.346；

t10?371.05，t11?342.11

**上述划线的节点坐标对应于步长为0.06m时的六个节点的坐标。

（3）、再设定步长为0.015m（Δx=0.015m），将厚度分成20等份，共需要21个节点。和上述原理相同，得到新的节点方程为：

t0.9759tt11?2+1.026；2?2?t1?t3?1.2363?

t12?t2?t4?1.2363?；t13?4?2?t3?t5?1.2363? t115?2?t4?t6?1.2363?；t6?2?t5?t7?1.2363?

t12?1.2363?；t17??t6?t88?2?t7?t9?1.2363?

t?12?t1.2363?；t198?t10?10?2?t9?t11?1.2363?

t111?2?t10?t12?1.2363?；……

t120?2?t19?t21?1.2363?;t21?0.89t20?24.2053

移相化简为：

t1?0.9759t2+1.026， t2?0.9765t3+2.2091

t3?0.977t4+3.3663, t4?0.9775t5+4.499 t5?0.978t4+5.6091， t6?0.9785t7+6.698，

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