2017年浙江省高考数学试卷(真题详细解析) 下载本文

tanγ=.由已知可得:OE>OG>OF.即可得出.

【解答】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面△ABC的中心为O. 不妨设OP=3.则O(0,0,0),P(0,﹣3,0),C(0,6,0),D(0,0,6B(3==

,﹣3,0).Q

=(0,3,6.

,可得

,R),

=(

, ,6,0),

=

, ),

设平面PDR的法向量为=(x,y,z),则可得=则cos

=

,取平面ABC的法向量=(0,0,1). =

,取α=arccos

同理可得:β=arccos∵

.γ=arccos

∴α<γ<β.

解法二:如图所示,连接OP,OQ,OR,过点O分别作垂线:OE⊥PR,OF⊥PQ,OG⊥QR,垂足分别为E,F,G,连接DE,DF,DG. 设OD=h. 则tanα=

,tanγ=

同理可得:tanβ=

由已知可得:OE>OG>OF.

∴tanα<tanγ<tanβ,α,β,γ为锐角. ∴α<γ<β. 故选:B.

【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

10.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=

?

,I2=

?

,I3=

?

,则( )

A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3

【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可. 【解答】解:∵AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3, ∴AC=2

∴∠AOB=∠COD>90°, 由图象知OA<OC,OB<OD,

∴0>?>?,?>0,

即I3<I1<I2, 故选:C.

【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键.

二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分 11.(4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度,祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= .

【分析】根据题意画出图形,结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积. 【解答】解:如图所示,

单位圆的半径为1,则其内接正六边形ABCDEF中, △AOB是边长为1的正三角形, 所以正六边形ABCDEF的面积为 S6=6××1×1×sin60°=故答案为:

【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题,是基础题.

12.(6分)已知a、b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= 5 ,ab= 2 .

【分析】a、b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),可得3+4i=a2﹣b2+2abi,可得

3=a2﹣b2,2ab=4,解出即可得出.

【解答】解:a、b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位), ∴3+4i=a2﹣b2+2abi, ∴3=a2﹣b2,2ab=4, 解得ab=2,则a2+b2=5, 故答案为:5,2.

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

13.(6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= 16 ,a5= 4 .

【分析】利用二项式定理的展开式,求解x的系数就是两个多项式的展开式中x与常数乘积之和,a5就是常数的乘积.

【解答】解:多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,

(x+1)3中,x的系数是:3,常数是1;(x+2)2中x的系数是4,常数是4, a4=3×4+1×4=16; a5=1×4=4. 故答案为:16;4.

【点评】本题考查二项式定理的应用,考查计算能力,是基础题.

14.(6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2,点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则△BDC的面积是

,cos∠BDC=

【分析】如图,取BC得中点E,根据勾股定理求出AE,再求出S△ABC,再根据S

△BDC

=S△ABC即可求出,根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出

【解答】解:如图,取BC得中点E, ∵AB=AC=4,BC=2, ∴BE=BC=1,AE⊥BC,

∴AE==,

=

∴S△ABC=BC?AE=×2×∵BD=2, ∴S△BDC=S△ABC=∵BC=BD=2, ∴∠BDC=∠BCD, ∴∠ABE=2∠BDC 在Rt△ABE中, ∵cos∠ABE=

=,

∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1=, ∴cos∠BDC=故答案为:

, ,

【点评】本题考查了解三角形的有关知识,关键是转化,属于基础题

15.(6分)已知向量、满足||=1,||=2,则|+|+|﹣|的最小值是 4 ,最大值是 .

【分析】通过记∠AOB=α(0≤α≤π),利用余弦定理可可知|+|=|﹣|=

,进而换元,转化为线性规划问题,计算即得结论.

【解答】解:记∠AOB=α,则0≤α≤π,如图, 由余弦定理可得: