第十二章 压杆的稳定性

12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量E?200GPa，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。（1）圆截面，d?25mm,l?1.0m；（2）矩形截面，h?2b?40mm，

l?1.0m;（3）16号工字钢，l?2.0m。

解：结构为两端铰支，则有??1,0,Plj??2EIl2

(1)圆截面杆，I?(2)矩形截面杆，

?d464,Plj??3?(0.025)4(1.0)?642?200?109?37.6?103?37.6kN

bh320?2?2?043?0?11023493??40mmP,lj??20?01?0?53N1?0kN 53 I?212121?2(1.0)(3)16号工字查型钢表知

I?1130cm,Plj?4?2?1130?10?8?200(2.0)2?109?461?103N?461kN

dPlj?xblhvxy

题12-1图 题12-2图

12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。杆长为l，在临界力

plj作用下杆失稳时有可能在xy平面内维持微弯曲状态下的平衡。杆横截面积对z轴的惯性

矩为I，试推导其临界压力plj的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。

解：M(x)??(??v)，结合 EIv???M(x)设k? V???kv?k? 通解为v?Asinkx?Bcoskx??

边界条件：x?0,v?0,则B???0，解出B???

222?EI，则有微分方程：

x?0,v??0（转角为零），A?k?0，解出A?0 解得挠曲线方程为：v??(1?coskx)

因为v在x?l处为?，则??coskl?0，由于??0，可得：coskl?0,kl?而k?2?2 （最小值）

?EI，得Plj??2EI(2l)2

注：由coskl?0，本有kl?n???2?0，计算可见n?0（kl??2时），对应的P值

是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。

12-3 某钢材，?p?230MPa,?s?274MPa，E?200GPa，?lj?338?1.22?，试计算?p和?s值，并绘制临界应力总图（0???150）。 解：?P??E?P?92.6,?s?a??s?52.5,式中a?338,b?1.22 b?ij?s274MPa?p?ij??s?ij?338?1.22?230MPa?2E?ij?2?作图时注意为二次曲线50?s 题12-3图

?p100x

12-4图示压杆的横截面为矩形，h?80mm,b?40mm,杆长l?2m，材料为优质碳钢，

E?210GPa。两端约束示意图为：在正视图（a）的平面内相当于铰支；在俯视图（b）

的平面内为弹性固定，并采用??0.6。试求此杆的临界应力Plj。

P80P200040PP

题12-4图

解：在正视平面内，Plj??2EIl2,I?1?80?403mm4 12?2EI?2EI1?,I??40?803mm4 俯视平面内， Plj?222(?l)l?(0.6)12因为80?40?31?40?803，对同一结构，Plj按正视平面内的公式计算（取较小值）： 2(0.6)3.142?210193?123??10??80?40?10?614?10N?614kN 2212Plj??2EIl212-5 钢结构压杆由两个56?56?8的等边角钢组成，杆长l?1.5m，两端为球形铰支受轴

向压力P?150kN，角钢为A3钢。试确定压杆的临界应力及工作安全系数。 解：查型钢表得：A?8.367?10m,iy?0.0168m，则

2?42???li?1?1.5?89?123

0.0168采用抛物线公式：?lj?235?0.0066??182MPa,P?lj?305kN lj?2A n?PljP?305?2.03 150Palzy

题12-5图 题12-6图