天天快乐
《概率论与数理统计》
第一章 概率论的基本概念
§2.样本空间、随机事件
1.事件间的关系 A?B 则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生 A?B ?{xx?A或x?B}称为事件A与事件B的和事件,指当且仅当A,B中至少有一个发生时,事件A?B发生
A?B ?{xx?A且x?B}称为事件A与事件B的积事件,指当A,B同时发生时,事件A?B发生
A—B ?{xx?A且x?B}称为事件A与事件B的差事件,指当且仅当A发生、B不发生时,事件A—B发生
A?B??,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的,指事件A与事件B不能同时发生,基本事件是两两互不相容的
A?B ?S且A?B??,则称事件A与事件B互为逆事件,又称事件A与事件B互为对立事件
2.运算规则 交换律A?B?B?A A?B?B?A
结合律(A?B)?C?A?(B?C) (A?B)C?A(B?C) 分配律A?(B?C)?(A?B)?(A?C) A?(B?C)?(A?B)(A?C) 徳摩根律A?B?A? B A?B?A?B
—§3.频率与概率
定义 在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事
件A发生的频数,比值nAn称为事件A发生的频率
概率:设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件的概率 1.概率P(A)满足下列条件:
(1)非负性:对于每一个事件A 0?P(A)?1 (2)规范性:对于必然事件S P(S)?1
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(3)可列可加性:设A1,A2,?,An是两两互不相容的事件,有P(以取?)
2.概率的一些重要性质: (i)P(?)?0
?A)??P(A)(n可
kkk?1k?1nn(ii)若A1,A2,?,An是两两互不相容的事件,则有P( ?A)??P(A)(n可以取?)
kkk?1k?1nn(iii)设A,B是两个事件若A?B,则P(B?A)?P(B)?P(A),P(B)?P(A) (iv)对于任意事件A,P(A)?1
(v)P(A)?1?P(A) (逆事件的概率)
(vi)对于任意事件A,B有P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
§4等可能概型(古典概型)
等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同 若事件
A
包含
k
个基本事件,即A?{ei1]}?{ei2}???{eik},里
i1,i2,?,ik是1,2,?n中某k个不同的数,则有P(A)??P{eij}?j?1k??kA包含的基本事件数 ?nS中基本事件的总数§5.条件概率
(1) 定义:设A,B是两个事件,且P(A)?0,称P(B|A)?件下事件B发生的条件概率
(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件
1非负性:对于某一事件B,有P(B|A)?0
2规范性:对于必然事件S,P(S|A)?1
3可列可加性:设B1,B2,?是两两互不相容的事件,则有
。。
P(AB)为事件A发生的条P(A)P(?BiA)??P(BiA)
i?1i?1??(3) 乘法定理 设P(A)?0,则有P(AB)?P(B)P(A|B)称为乘法公式
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(4) 全概率公式: P(A)??P(B)P(A|B)
iii?1n贝叶斯公式: P(Bk|A)?P(Bk)P(A|Bk)?P(B)P(A|B)iii?1n
§6.独立性
定义 设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)?P(A)P(B),则称事件A,B相互独立 定理一 设A,B是两事件,且P(A)?0,若A,B相互独立,则P(B|A)?P?B?
A与B,A与B 定理二 若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立:A与B,————第二章 随机变量及其分布
§1随机变量
定义 设随机试验的样本空间为S?{e}. X?X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数,称X?X(e)为随机变量
§2离散性随机变量及其分布律
1. 离散随机变量:有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随
机变量称为离散型随机变量
P(X?xk)?pk满足如下两个条件(1)pk?0,(2)?Pk=1
k?1?2. 三种重要的离散型随机变量
(1) 分布
设随机变量X只能取
0与1两个值,它的分布律是
k1-kP(X?k)?p(1-p),k?0,1(0?p?1),则称X服从以p为参数的 分布或
两点分布。
(2)伯努利实验、二项分布
设实验E只有两个可能结果:A与A,则称E为伯努利实验.设P(A)?p(0?p?1),此时P(A)?1-p.将E独立重复的进行n次,则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。
??n?kn-k P(X?k)??(2)?Pk=1注意?n满足条件(1)pk?0,?k??pq,k?0,1,2,k?1??——恭喜发财