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第七讲 多元函数积分学（一）
知识点分析：
一、二重积分
1、二重积分的概念：
设二元函数f(x,y)定义在有界闭区域D上，则二重积分
?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1ni
b?ad?cb?ad?c i,c?j)???n??nnnni?1j?1Di111ijj先提出?，在凑出,，可以看出是0到1上的x，是0到1上的y，是0到1
nnnnnnn上的dx,dy
注：①二重积分的存在性，也称二元函数的可积性，设平面有界闭区域D由一条或几条逐段光滑闭曲线围成，当f(x,y)在D上连续时，或者f(x,y)在D上有界，且在D除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，则f(x,y)在D上可积。 ②极限存在与D的分割方式无关。d??dx?dy
精确定义求极限问题：
f(x,y)d??lim??f(a?nn③几何意义曲顶柱体的体积V?2、二重积分的性质 （1）区域面积
??f(x,y)d?；物理意义D的质量m????(x,y)d?。
DD??d??A，其中A为区域D的面积。
D（2）可积函数必有界：当f(x,y)在闭区域D上可积时，则f(x,y)在D上必有界 （3）线性性质：
???kD1 f(x,y)?k2g(x,y)?d??k1??f(x,y)d??k2??g(x,y)d?k1,k2为常数。
DD（4）可加性：D?D1D2,D1 D2??，??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?。
DD1D2（5）保号性：若在D上f(x,y)?g(x,y)，则
特殊的有|??f(x,y)d????g(x,y)d?；
DD??f(x,y)d?|???DDDf(x,y)d?。
D（6）估值定理：设M?maxf(x,y),m?minf(x,y)，D的面积为?,则有
m????f(x,y)d??M?
D（7）二重积分中值定理：设函数f(x,y)在闭区域D上连续，D的面积为?，则至少存在一点(?,?)?D使得
??f(x,y)d??f(?,?)??。
D3、二重积分的计算 （1）直角坐标系计算法
①X型：D?(x,y)?1(x)?y??2(x),a?x?b，?1(x),?2(x)在?a,b?上连续，则
????Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy
②Y型：D?(x,y)?1(y)?x??2(y),c?y?d，?1(y),?2(y)在?c,d?上连续，则
????f(x,y)d???Ddcdy??2(y)?1(y)f(x,y)dx
（2）极坐标系计算法
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D??(r,?)?1(?)?r??2(?),??????其中?1(?),?2(?)在??,??上连续，则
??Df(x,y)d????f(rcos?,rsin?)rdrd???d??D??2(?)??1(?)f(rcos?,rsin?)rdr
注意：X型，Y型和极坐标的相互转化有时可方便解题?4、二重积分的对称性
?x?rcos?
y?rsin????f(x,y)d?，记D为其对称区域的一半
1D?0?（1）若D关于x轴对称，有??f(x,y)d???2f(x,y)d???D??D1?0?（2）若D关于y轴对称，有??f(x,y)d???2f(x,y)d???D??D1,f(x,?y)=?f(x,y)，f(x,?y)=f(x,y) ,f(?x,y)=?f(x,y)，f(?x,y)=f(x,y)
,f(?x,?y)=?f(x,y)?0?（3）若D关于原点对称，有??f(x,y)d???2f(x,y)d?，f(?x,?y)=f(x,y)
??D??D1（4）（轮换对称性）若D关于y?x对称，有??f(x,y)d????f(y,x)d?
DD若y?x将D分成D1,D2两部分，有??f(x,y)d????f(y,x)d?
D1D2二、三重积分
1、三重积分的概念
设三元函数f(x,y,z)定义在三维有界空间区域?上，则三重积分
?f(?,?,????f(x,y,z)dv?lim???0kki?1nk)?vi
b?ad?cf?eb?ad?cf?e i,c?j,e?k)?????n???nnnnnni?1j?1k?1?i111ijkj方法：先提出??，在凑出,,，可以看出是0到1上的x，是0到1上的y，
nnnnnnnn1k是0到1上的z，是0到1上的dx,dy,dz。
nnf(x,y,z)dv?lim???f(a?2、三重积分的性质 （1）区域面积
nnn???dv?V，其中V为区域?的面积。
?（2）可积函数必有界：当f(x,y,z)在闭区域?上可积时，则f(x,y,z)在?上必有界 （3）线性性质：
????k?1f(x,y,z)?k2g(x,y,z)?dv?k1???f(x,y,z)dv?k2???g(x,y,z)dv，
??k1,k2为常数。
（4）可加性：???1?2,?1?2??，
???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv。
??1?2（5）保号性：若在?上f(x,y,z)?g(x,y,z)，则
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???f(x,y,z)dv????g(x,y,z)dv；
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特殊的有|???f(x,y,z)dv|???????f(x,y,z)dv。
?（6）估值定理：设M?maxf(x,y,z),m?minf(x,y,z)，?的体积为V,则有
mV????f(x,y,z)dv?MV
?（7）三重积分中值定理：设函数f(x,y)在闭区域?上连续，?的体积为V，则至少存在一点(?,?,?)??使得3、三重积分的计算
（1）坐标平面投影法（二套一）??(x,y,z)z1(x,y)?z?z2(x,y),(x,y)?Dxy
???f(x,y,z)dv?f(?,?,?)?V。
??????f(x,y,z)dv??????Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzdxdy???dxdy?D?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz
（2）坐标轴投影法（一套二）??(x,y,z)(x,y)?Dz,a?z?b
??????f(x,y,z)dv??ba??Dzf(x,y,z)dxdydz??dz??f(x,y,z)dxdy
aDzb（3）柱面坐标法“直角坐标系+极坐标系”
x??cos?，y??sin?，z?z，其中0?????,0???2?,???z???
???f(x,y,z)dv????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz
??（4）球坐标计算法
x?rsin?cos?y?rsin?sin?z?rcos?其中0?r???,0???2?,0????
???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r??2sin?drd?d?
4、三重积分的对称性
（1）若?关于xoy平面对称，则
,f(x,y,?z)??f(x,y,z)?0? f(x,y,z)dv?,?1为对称区域的一半。?2???f(x,y,z)dv,f(x,y,?z)?f(x,y,z)???????1同理与?关于yoz平面对称和xoz平面对称
（2）轮换对称性：若?关于x,y,z具有轮换对称性（即若?x,y,z???，将x,y,z意互换后的点也属于?），则被积函数中的自变量可以任意轮换而不改变积分值
???f(x,y,z)dv????f(y,x,z)dv????f(y,z,x)dv
???当：
???f(x)dv????f(y)dv????f(z)dv，有???[f(x)?????f(y)f?(z)]dv3?f(xd)v????
三、重积分的应用 1、曲面的面积
设曲面由方程z?f(x,y)组成，则曲面的面积A?若光滑曲面方程为F(x,y,z)?0，且Fz?0，则
??D2?21?z?x?zydxdy
FyF?z?z??x,??,(x,y)?Dxy ?xFz?yFz?A???DFx2?Fy2?Fz2Fzdxdy
2、质心
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