【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】（Ⅰ）根据题意，求出B点的横坐标，线段CD中点坐标，再求出f（x）的最小正周期T，从而求出ω的值，再根据f（0）与f（φ的值；

）互为相反数求出

（Ⅱ）由（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式，把f（x）=k+sin2x化为k=sin（2x+﹣sin2x=cos（2x+在x∈[

，

），设g（x）=cos（2x+

），x∈[

，

）

]，画出函数g（x）

]上的图象，结合图形求出y=k与g（x）恰有唯一交点时实数k

的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，点A与点D关于点B对称，

∴B点的横坐标为=；

又点C与点D关于直线x==对称，

∴f（x）的最小正周期T满足=﹣=，

解得T=π，即ω==2；

又f（0）=sinφ，

f（π，

）=sin（2×+φ）=sin（+φ）=﹣sin（+φ）=﹣sinφ，且0＜φ＜

∴φ=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）=sin（2x+），

∴f（x）=k+sin2x为sin（2x+）=k+sin2x，

∴k=sin（2x+）﹣sin2x=﹣sin2x+cos2x=cos（2x+），

设g（x）=cos（2x+），x∈[，]，

则2x∈[，π]，2x+∈[，]，

画出函数g（x）在x∈[，]上的图象，如图所示；

根据题意，y=k与g（x）恰有唯一交点，

∴实数k应满足﹣＜k≤或k=﹣1．

20．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，

=

．

（Ⅰ）求∠A的大小； （Ⅱ）若a=

，△ABC在BC边上的中线长为1，求△ABC的周长．

【考点】HP：正弦定理．

【分析】（I）由=，利用正弦定理可得： =，化简再利用

余弦定理即可得出．

（II）设∠ADB=α．在△ABD与△ACD中，由余弦定理可得：

cosα，b2=

﹣

﹣

×cos（π﹣α），可得b2+c2=．又b2+c2

﹣3=bc，联立解得b+c即可得出．

【解答】解：（I）由b2+c2﹣a2=bc．

=，利用正弦定理可得： =，化为：

由余弦定理可得：cosA==，A∈（0，π）．

∴A=．

（II）设∠ADB=α．

在△ABD与△ACD中，由余弦定理可得：﹣cosα，

b2=﹣×cos（π﹣α），

∴b2+c2=2+=．

又b2+c2﹣3=bc， 联立解得b+c=2

．

+

．

∴△ABC的周长为2

21．如图，梯形ABCD，|（0≤λ≤1）．

|=2，∠CDA=

，

=2

，E为AB中点，

=λ

（Ⅰ）当λ=，用向量，表示的向量；

（Ⅱ）若||=t（t为大于零的常数），求| |的最小值并指出相应的实数λ的值．

【考点】9V：向量在几何中的应用．

【分析】（I）过C作CF∥AB，交AD于F，则F为AD中点，用

表示出

，利用三角形法则即可得出结论；

（II）根据（I）得出

的表达式，两边平方得出

关于λ的二次函数，根据二

次函数的性质求出最值．

【解答】解：（I）过C作CF∥AB，交AD于F， 则四边形ABCF是平行四边形，F是AD的中点，

∴===﹣=﹣，

λ=时，，

∴==++﹣=+．

（II）∵=λ，∴ =（1﹣λ），

∴==（1﹣λ）++﹣=（）+，

∵=2tcos60°=t， =t2， =4，

∴

2=（）2t2++（

）t=[（）t+]2+，

∴当（﹣λ）t=﹣时即λ=+时，

2

取得最小值．

∴的最小值为，此时λ=+．