浙江省2016-2017学年高一下学期期中数学试卷+Word版含解析(1) 下载本文

22.数列{an}满足:a1=2,当n∈N*,n>1时,a2+a3+…+an=4(an﹣1﹣1). (Ⅰ)求a2,a3,并证明,数列{an+1﹣2an}为常数列;

(Ⅱ)设cn=实数a的取值范围.

,若对任意n∈N*,2a<c1+c2+…+cn<10a恒成立,求

【考点】8K:数列与不等式的综合.

【分析】(Ⅰ)根据题意,分别令n=2,3求出a2,a3,并猜想即学归纳法证明,即可证明数列{an+1﹣2an}为常数列,

,并用数

(Ⅱ)利用放缩法可得

≤c1+c2+…+cn<,即可求出a的范围

【解答】解:(Ⅰ)∵数列{an}满足:a1=2,当n∈N*,n>1时,a2+a3+…+an=4(an

﹣1

﹣1),

∴a2=4(a1﹣1)=4(2﹣1)=4,

a2+a3=4(a2﹣1),即4+a3=4(4﹣1)=12,解得a3=8. 由此猜想{an}是首项为2,公比为2的等比数列,即用数学归纳法证明:

①当n=1时,a1=2,成立.

②假设当n=k时,等式成立,即a2+a3+…+ak=4(ak﹣1﹣1), ∴22+23+…+2k=4(2k﹣1﹣1), 当n=k+1时,a2+a3+…+ak+ak+1 =4(2k﹣1﹣1)+2k+1 =2k+1﹣4+2k+1

=4(2k﹣1)=4(ak﹣1),成立, 由①②,得

∴an+1﹣2an=2n+1﹣2?2n=0, ∴数列{an+1﹣2an}为常数列.

(Ⅱ)∵cn==,

当n=1时,c1=,cn=≤,

∴c1+c2+…+cn<+++…+=+=+(1﹣)<+

=,

=c1<c1+c2+…+cn<,

∵对任意n∈N*,2a<c1+c2+…+cn<10a恒成立,

∴,

解得≤a<,

故实数a的取值范围为[,).

2017年6月18日