第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试卷（初一组）
一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将 表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1．代数和 ?1? 2008? 2? 2007? 3? 2006? 4? 2005?L ?1003?1006?1004?1005 的个 位数字是（
）
B.8
C.9
D.0
A.7
【答案】B
【解析】只需考察每个组合的个位数的乘积，发现这 2015 个的组合中，个位数的乘积每十 个一循环，观察这个循环中的乘积和：
?1? 8+2 ? 7 ? 3 ? 6+4 ? 5 ? 5 ? 4 ? 6 ? 3 ? 7 ? 2 ? 8 ?1 ? 9 ? 0 ? 0 ? 9=0 ，因此每个循环的
个位数和为 0，观察最后循环外的几个数的乘积和： ?1? 8+2 ? 7 ? 3 ? 6+4 ? 5=8 。因此最后得到的个位数为 8
2．已知 ?1 A. a ） 2 3 3 2 B. a 2 2 3 D. a 【解析】 a, a, ab, ab 中易知只有 ab ? 0 ，故 ab 最大，排除 B,C；另外由于 ?1 ? a ? 0 得 3 2 a2 ? 1 ，即 a ? a3 ，排除 D，所以选 A 3．在数轴上，点 A 和点 B 分别表示数 a 和 b ，且在原点 O 的两则，若 a ? b ? 2016 ， AO ? 2BO ，则 a ? b ? （ ） C. ? 672 D.0 A.6048 【答案】C B. ? 6048 【解析】由 a ? b ? 2016 且 A,B 在 O 点两侧以及 a ? 2 b 知 a, b 的解有两种可能性： i. a ? 0, b ? 0 则可解得 a ? ? 2016 ? 1344 ， b ? ? ? 2016 ? ?672 ， a ? b ? 672 2 3 1 3 ii. a ? 0, b ? 0 同样可得 a ? b ? ?672 4．如右图所示，三角形 ABC 是直角三角形， ?ABC ? 60，若在直线 AC 或 BC o A 上取一点 P ，使得三角形 PAB 为等腰三角形，那么这样的点 P 的个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 C B 【答案】C 【解析】考察不同的等腰三角形的顶角： 若 P 为顶角，则 P 必位于 AB 的中垂线上，而 AB 中垂线与直线 AC,AB 的交点有两个，故这样 的等腰三角形有 2 个； 若 A 为顶角，则 AB 为其中一条腰，将线段 AB 绕 A 点旋转，与直线 AC,AB 的交点有三个，但 是由于 ?ABC ? 60? ，此旋转后的直线与 BC 延长线的交点与以 P 为顶点的一个三角形重合， 故这样不同的等腰三角形有 2 个； 若 B 为顶角，同样 AB 为其中一条腰，将线段 AB 绕 B 点旋转，与直线 AC,AB 的交点同样有三 个，同样与 P 为顶点的一个三角形重合，故不同的三角形只有 2 个； 综上这样的点 P 的个数为 6 个。 5．如右图，乙是主河流甲的支流，水流流向如箭头所示。 主流和支流的水流速度相等，船在主流和支流中的静水 速度也相等。已知 AC ? CD ，船从 A 处经 C 开往 B 处 甲 D C 乙 B A 需用 6 小时，从 B 经 C 到 D 需用 8 小时，从 D 经 C 到 B 需用 5 小时。则船从 B 经 C 到 A ，再从 A 经 C 到 D 需 用（ ）小时。 B.12 1 3 1 A.13 3 【答案】B 【解析】 13 1C.11 3 D.10 设 AC ? CD ? a ， CB ? b ，静水速度为 v ，水流速度为 s 。由题意得 a b ?? ? 6 v ? s v ? s a b ?? ? 8 v ? s v ? s a b ?? ? 5 v ? s v ? s 由后两个式子可以得到 ?? 1 ?8 1 ?5 代入第一个式子化简得到b ? 2a ?， ?v ? s a ? b v ? s a ? b 船从 B 经 C 到 A，再从 A 经 C 到 D 需用时： b a 2a 8 5 21a ??8b v ? ? ? (2a ? b) ? a ? ? s v ? s v ? s a ? b a ? b a ? b 将 b ? 2a 代入得到 21a ??8b 21a ?16a 37 1 ? ? ? 12 3 3 a ? b a ? 2a 6．甲、乙、丙、丁四种商品的单价分别为 2 元，3 元，5 元和 7 元，现从中选购了 6 件共花 费了 36 元。如果至少选购了 3 种商品，则买了（ ）件丁商品。 D.4 A.1 B.2 C.3 【答案】D 【解析】由于至少选购了 3 中产品，故丁产品最多买 4 件，如果丁产品少于 4 件，则 6 件总 花费 ? 7 ? 3+5 ? 2+3 ?1=33 元，矛盾，故丁必须买 4 件；同时如果丁买 4 件，丙与乙各买 一件，总花费正好是 36 元。 综上丁买了 4 件 二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） 7．如右图，在平行四边形 ABCD 中， AB ? 2AD ，点 O 为平 行四边形内一点，它到直线 AB, BC, CD 的距离分别为 a, b, c ， A D c a b O B C 且它到 AD 和 CD 的距离相等，则 2a ? b ? c ? ? 【答案】0 。 【解析】考察平行四边形的两条高，AB 为底边的高为 a ? c ，AD 为底边的高为b ? c ，由面 积不变定理有 S ??AB ?a ? c? ??AD ?b ? c? ，得 b ? c ? 2 ?a ? c ? ，即 2a ? c ? b ? 0 8．如右图所示，韩梅家的左右两侧各摆了 3 盆花，韩梅每次按照 以下规则往家中搬一盆花：先选择左侧还是右侧，然后搬该侧 离家最近的，要把所有的花搬到家里，共有 花顺序。 【答案】20 【解析】 韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花，左侧和右侧分别只能选择三次，我们将三个左 和三个右组成的排列（例如：左左右左右右 是一种排列）分别对应一种搬花的顺序，并且 不同的排列对应不同的搬花的顺序。所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺序的个 数相同。故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数。对于这种排列只需要考虑在 6 种不同的搬 个位置中选择三个为左的个数，这样的个数一共有C6 ? 20 。 3 9．如右图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD ，AB ? 6，CD ? 14， E A D B C ?AEC ? 90o ， CE ? CB ，则 AE2 ? 【答案】84 【解析】 . E A B D G F C AG ? BF ? h ， CG ? 10 ， CF ? 4 AC2 ? AG2 ? CG2 ? h2 ?100 CE2 ? BC2 ? BF 2 ? CF 2 ? h2 ?16 AE2 ? AC2 ? CE2 ? 84 10．已知四位数 x 是完全平方数，将其 4 个数字各加 1 后得到的四位数仍然是完全平方数， 则 x ? 【答案】2025 。 【解析】设 x ? a，另一个数为 b则有 b? a? 1111 ，即 ?a ? b? ?b ? a ? ? 1111 2 2 2 2 由于1111 ? 101?11 ，且101,11 均为质数；故 a ? b ? 101, b ? a ? 11，解得 a ? 45 故 x ? 2025