（2）f(r)?r2?54，1?r?333，根据导函数求出其最小值即可．
r2解：（1）由题意可得2?r3??r2h?54?，所以h?54?r， 23r3542所以y?(2?r2?2?2?r2?3?2?rh?3)?10?100?r2?60?rg即y?60??(r2?54)； (2?r)，
r3r323{r|1?r?33}， 1，h?0，所以54因为r…，则，所以定义域为1?r?33?r?02r3（2）设f(r)?r2?54，1?r?333，则f?(r)?2r?54，令f?(r)?0，解得r?3， 2rr当r?[1，3)时，f?(r)?0，f(r)单调递减；
3当r?(3，33)时，f?(r)?0，f(r)单调递增，
所以当r?3时，f(r)取极小值也是最小值，且f(r)min?1620?． 答：当半径r为3m时，建造费用最小，最小为1620?千元． 18．（本小题满分16分）
x2y2如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C经过点(0,3)，
ab离心率为1，直线l过点F2与椭圆C交于A，B两点．
2（1）求椭圆C的方程；
（2）若点N为△F1AF2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；
（3）设点A，F2，B在直线x?4上的射影依次为点D，G，E．连结AE，BD，试问：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．
分析：（1）由题意知b?3．c?1，可得
a
2
b3?，解得a即可得出椭圆C的方程． a2（2）由点N为△F1AF2的内心，可得点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，
可得
SVF1NF2SVF1AF2?1(|AF1|?|AF2|?|F1F2|)gr21|F1F2|gr2．
（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，此时AE与BD交于F2G的中点
55(,0)．下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(,0)． 22设直线l的方程为y?k(x?1)，与椭圆方程联立化简得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0．设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，得D(4,y1)，E(4,y2)，则直线AE的方程为
y?y2?y2?y1y?y15(x?4)．令x?5，此时y?y2?2(?4)，把根与系数关系代入可得4?x14?x12222y?0，因此点T(5,0)在直线AE上．同理可证，点T(5,0)在直线BD上．即可得出结
论．
解：（1）由题意知b?3．因为c?1，所以
a
2
b3?，解得a?2， a2x2y2?1． 所以椭圆C的方程为：?43（2）因为点N为△F1AF2的内心，
所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r， SVF1NF2SVF1AF21|F1F2|gr22cc1??．
2a?2ca?c3则
?1(|AF1|?|AF2|?|F1F2|)gr2?（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形， 此时AE与BD交于F2G的中点(5,0)．
2
下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(5,0)．
2设直线l的方程为y?k(x?1)，
?y?k(x?1)?联立?x2y2化简得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0．
?1??3?4因为直线l经过椭圆C内的点(1,0)，所以△?0．
8k24k2?12设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1?x2?，x1x2?．
3?4k23?4k2y?y由题意，得D(4,y1)，E(4,y2)，则直线AE的方程为y?y2?21(x?4)．
4?x1y?y152(x1?4)y2?3(y2?y1)(?4)?令x?5，此时y?y2?2 4?x122(x1?4)2?2(x1?4)k(x2?1)?3k(x2?x1)8k?2kx1x2?5k(x1?x2)?
2(x1?4)2(x1?4)4k2?128k28k?2kg?5kg223?4k3?4k? 2(x1?4)24k?32k3?8k3?24k?40k3??0，
2(x1?4)(3?4k2)所以点T(5,0)在直线AE上．
2同理可证，点T(5,0)在直线BD上．
2所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(5,0)．
219. （本小题满分16分）
设数列{an}，{bn}分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． （1）已知b1?1，b2b3?b2?6?0，求数列{bn}的前n项的和Sn；
（2）已知a2?2，a4+a7+a10?21，且数列{an+bn}的前三项成等比数列，若数列{bn}唯一，求b1的值.
（3）已知数列{an}的公差为d(d?0)，且a1b1?a2b2???anbn?(n?1)2n?1?2，求数列{an}，； {bn}的通项公式（用含n，d的式子表达）（1）解：设{bn}的公比为q，
则有q3?q?6?0，即(q?2)(q2?2q?3)?0； 解得q??2；
1?(?2)n?Sn?；
3（2）∵{an}为等差数列，又∵a2?2，a4+a7+a10?21 ∴3a7?21，a7?7，则公差d?1，则an?n
数列{an+bn}的前三项成等比数列，即1+b1，2+b2，3+b3成等比，
(2+b2)2?(1+b1)(3+b3)，整理得1+b1=b3
设数列{bn}的公比为q，显然b1?0 则1+b1=b1q，b1q22?b1?1?0
∵数列{bn}唯一确定，
∴??0?4b1(1?b1)?0 解得：b1??1或b1?0（舍） 即b1??1
（3）解：Qa1b1?a2b2???anbn?(n?1)2n?1?2?①
a1b1?a2b2???an?1bn?1?(n?2)2n?2?②
?①?②，得anbn?ng2n(n…2)；
Qa1b1?2；
?anbn?ng2n(n?N*)?③ ?an?1bn?1?(n?1)2n?1(n…2)?④
令③?④，得
an2ngq?(n…2)?⑤；其中q是数列{bn}的公比； an?1n?1?
an?12(n?1)gq?(n…3)?⑥ an?2n?2anan?2n(n?2)?(n…3)； 22an(n?1)?1令⑤?⑥，得
?
a3a13(a?2d)a13?，即1?； a24(a1?d)24解得a1?d或a1??3d；
若a1??3d，则a4?0，有4?24?a4b4?0，矛盾；
2n； ?a1?d满足条件，此时an?dn；bn?d20. （本小题满分16分）
设a为实数，已知函数f(x)?axex(a?R)． （1）当a?0时，求函数f(x)的单调区间；
1及任意的x?0恒成立，求b的取（2）设b为实数，若不等式f(x)…2x2?bx对任意的a…值范围；
（3）若函数g(x)?f(x)?x?lnx(x?0)有两个相异的零点，求a的取值范围． 分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，
（2）分离参数，可得ex?2x…b对任意的x?0恒成立，构造函数?(x)?ex?2x，利用导数求出函数的最值即可求出b的范围，
（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a的范围．
解：（1）当a?0时，因为f?(x)?a(x?1)ex，当x??1时，f?(x)?0；
当x??1时，f?(x)?0．所以函数f(x)单调减区间为(??,?1)，单调增区间为(?1,??)．
x（2）由f(x)…2x2?bx，由于x?0， 2x2?bx，得axe…1及任意的x?0恒成立． 所以aex…2x?b对任意的a…由于ex?0，所以aex…ex，所以ex?2x…b对任意的x?0恒成立． 设?(x)?ex?2x，x?0，则??(x)?ex?2，
所以函数?(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，??)上单调递增， 所以?(x)min??(ln2)?2?2ln2， 所以b?2?2ln2．
1(x?1)(axex?1)（3）由g(x)?axe?x?lnx，得g?(x)?a(x?1)e?1??，其中x?0．
xxxx0时，则g?(x)?0，所以函数g(x)在(0,??)上单调递增，所以函数g(x)至多有一个零①若a…点，不合题意；
②若a?0时，令g?(x)?0，得xex??1?0．
axx2由第（2）小题知，当x?0时，?(x)?ex?2x…2?2ln 2?0，所以e?2x，所以xe?2x，
所以当x?0时，函数xex的值域为(0,??)．
所以存在x0?0，使得ax0ex0?1?0，即ax0ex0??1 ①，
且当x?x0时，g?(x)?0，所以函数g(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0，??)上单调递减． 因为函数有两个零点x1，x2，
所以g(x)max?g(x0)?ax0ex0?x0?lnx0??1?x0?lnx0?0 ②．
设?(x)??1?x?lnx，x?0，则??(x)?1?1?0，所以函数?(x)在(0,??)上单调递增．
x由于?(1)?0，所以当x?1时，?(x)?0，所以②式中的x0?1． 又由①式，得x0ex0??1．
a由第（1）小题可知，当a?0时，函数f(x)在(0,??)上单调递减，所以?1?e，
a即a?(?1，0)．
e(i) 由于g()?1eae11?(?1)?0，所以g()gg(x0)?0． eee1e