因为1?1?x0，且函数g(x)在(0,x0)上单调递减，函数g(x)的图象在(0,x0)上不间断，

e所以函数g(x)在(0,x0)上恰有一个零点；

(ii) 由于g(?1)??e?1?1?ln(?1)，令t??1?e，

aaaaa设F(t)??et?t?lnt，t?e，

由于t?e时，lnt?t，et?2t，所以设F(t)?0，即g(?1)?0．

a由①式，得当x0?1时，?1?x0ex0?x0，且g(?1)gg(x0)?0，

aa同理可得函数g(x)在(x0，??)上也恰有一个零点． 综上，a?(?1，0)．

e

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试 高三数学（Ⅱ）试题 2019.12

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页包含填空题（第1~14题）、解答题（第15~20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠 21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A???1a??2?，的一个特征值，其对应的一个特征向量是 A??2??1????1???1b? （1）求矩阵A；

（2）设直线l在矩阵A对应的变换作用下得到了直线m:x?y?4，求直线l的方程． 分析：（1）由A?1????1????1即可求出a，b； ?1b????（2）设直线m:x?y?4上的任意一点(x,y)在矩阵A对应的变换作用下得到点(x?,y?)，根2x??y??x?,?2??x??x?2y??x???1?3据????进而得到l的方程；． ??y????x?4y?，可得??x??y?y?14?????????y?.?6??1a??2??1解：（1）QA?1???1a??2??2?a??2??4?，????21??????1???2?，

??1b??1???2?b??????2?a?4,?a?2,??解得?

b?4,?2?b?2,??2??1?； ?14??2??1???14?故A??（2）QA???2?3?1，?A???1??61???3， ?1?6??设直线m:x?y?4上的任意一点(x,y)在矩阵A?1对应的变换作用下得到点(x?,y?)， ?2?x???3则?????y???1??61?1??2??x?y??3?x?33 ??????1??y??11?x?y?6?6???6?21?x??x?y,??x?x??2y?,?33????

??11y?x?4y.?y??x?y,??66?Qx?y?4，?y??2，

3?直线l的方程为y?2．

3B．选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，直线l的极坐标方程为???(??R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴

4建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为?交点P的直角坐标．

?x?4cos?,，求直线l与曲线C的(?为参数）

y?1?cos2??分析：化直线l的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C的参数方程为普通方程，联立求解得答案．

解：直线l的直角坐标方程为y?x． 由方程??x?4cos?,，可得y?2cos2??2(x)2?1x2，

48?y?1?cos2?cos?1，??4剟x4． 又Q?1剟?曲线C的普通方程为y?1x2(?4剟x4)．

8将直线l的方程代入曲线方程中，得1x2?x，解得x?0，或x?8（舍去）．

8?直线l与曲线C的交点P的直角坐标为(0,0)．

第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

?如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A?AB?2，?ABC?，

3E，F分别是BC，A1C的中点．

（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值； （2）点M在线段A1D上，

A1M??．若CM//平面AEF，求实数?的值． A1D

分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；

（2）点M在线段A1D上，可求实数?的值．

解：因为四棱柱ABCD?A1B1C1D1为直四棱柱， 所以A1A?平面ABCD．

又AE?平面ABCD，AD?平面ABCD， 所以A1A?AE，A1A?AD．

在菱形ABCD中?ABC??，则?ABC是等边三角形．

3A1M??．求出平面AEF的法向量，利用CM//平面AEF，即A1D因为E是BC中点，所以BC?AE． 因为BC//AD，所以AE?AD．

建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，C(3，1，0)，D(0，2，0)， A1(0，0，2)，E(3，0，0)，F(uuuruuur31AD?(0（1），2，0)，EF?(?，，1)，

223，1，1)． 22所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为121?1?2． 4A1D（2）设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且A1M??， 则(x，y，z?2)??(0，2，?2)．

uuuur则M(0，2?，2?2?)，CM?(?3，2??1，2?2?)．

r设平面AEF的法向量为n?(x0，y0，z0)．

uuuruuur31因为AE?(3，0，0)，AF?(，，1)，

22?3x0?0?由?3，得x0?0，1y0?z0?0． 12?x0?y0?z0?0?22取y0?2，则z0??1，

则平面AEF的一个法向量为n?(0，2，?1)．

rruuuu由于CM//平面AEF，则ngCM?0，即2(2??1)?(2?2?)?0，解得??2．

3

23．（本小题满分10分）

已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n分

(n?N*)的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．

（1）求在一局游戏中得3分的概率；

（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E(X)． 分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；

（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值， 求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望． 解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A，

111C2gC2gC12则P（A）??； 3C55（2）由题意随机变量X的可能取值为1，2，3，4；