命题、定理与证明的知识点总结

一、

知识结构梳理

二、知识点归类

知识点一 定义的概念 对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。

注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等

不能在定义中出现。 知识点二 命题的概念

叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命 如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是湘教版的”等。 注意：（1）命题必须是一个完整的句子。

（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。 知识点三 命题的结构

每个命题都有题设和结论两部分组成。题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。

例 把下列命题改写成“如果------，那么-------”的形式，并指出条件与结论。 1、同角的余角相等 2、两点确定一条直线 知识点四 真命题与假命题

如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题

1 / 9

注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。 知识点五 证明及互逆命题的定义

1、 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。 注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。

2、 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其

中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。

注意：一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。 例 说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。

（1）直角三角形的两锐角互余； （2）全等三角形的对应角相等。

类型一：

例、 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？ （1）对顶角相等； (2)画一个角等于已知角； (3)两直线平行，同位角相等；

（４），两条直线平行吗? (5)鸟是动物； (6)若 思路点拨:通过本题熟悉命题的定义

，求的值； (7)若，则．

解析：句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的．

【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?

2 / 9

(1)若a＜b，则∠B吗?

；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC中，若AB＞AC，则∠C＞

(4)两点之间线段最短； (5)解方程； (6)1＋2≠3．

【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题． 类型二：

例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式： (1)三条边对应相等的两个三角形全等； (2)在同一个三角形中，等角对等边； (3)对顶角相等； (4)同角的余角相等；

(5)三角形的内角和等于180°； (6)角平分线上的点到角的两边距离相等．

思路点拨: 找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去．

解析：（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．

（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏．

（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．

（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．

（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”．这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”； (6) “如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。” 总结升华：注意原命题中省略的重要内内容一定要补充完整。

【变式1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否定式，得到新的命题，并判断这些命题的真假．

(1)对顶角相等； (2)两直线平行，同位角相等； (3)若a=0，则ab=0； (4)两条直线不平行，则一定相交；

【答案】(l)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；不是对顶角不相等(假)；不相等的角不是对顶角(真)．

(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)； 两直线不平行，同位角不相等(真)；同位角不相等，两直线不平行(真)． (4)两条直线不平行，则一定相交(假)； 两条直线相交，则一定不平行(真)； 两条直线平行，则一定不相交(真)； 两条直线不相交，则一定平行(假)． 【变式2】判断正误：

3 / 9

(3)若a=0，则ab=0(真)； 若ab=0，则a=0(假)； 若a≠0，则ab≠0(假)； 若ab≠0，则a≠0(真)．