实用标准文案

2015 年全国高中数学联合竞赛（A卷）

参考答案及评分标准

一试

说明：

1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1．设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x)?x?ax?b满足f(a)?f(b)，则f(2)? 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得所以f(2)?4?2a?b?4．

2a?ba??，即2a?b?0，221?cos4?的值为 ． sin?222答案：2. 解：由条件知，cos??sin?，反复利用此结论，并注意到cos??sin??1，

1cos2??sin2?4?cos???sin2??(1?sin?)(1?cos2?) 得

sin?sin??2?sin??cos2??2．

2．若实数?满足cos??tan?，则

3．已知复数数列?zn?满足z1?1,zn?1?zn?1?ni(n?1,2,???)，其中i为虚数单位，zn表示zn的共轭复数，则z2015? ．

答案：2015 + 1007i．解：由己知得，对一切正整数n，有

zn?2?zn?1?1?(n?1)i?zn?1?ni?1?(n?1)i?zn?2?i, 于是z2015?z1?1007?(2?i)?2015?1007i．

4．在矩形ABCD中，AB?2,AD?1，边DC上（包含点D、C）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足条件DP?BQ，则PA?PQ的最小值为 ． 答案

3． 4,

解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t, l) （其

A??(t?,,1)PQ2(?,?t??t1)中0?t?2），则由|DP|?|BQ|得Q的坐标为（2，-t)，故P因此，

133PA?PQ?(?t)?(2?t)?(?1)?(?t?1)?t2?t?1?(t?)2??．

24413当t?时，(PA?PQ)min?．

24

5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．

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答案：

2．解：设正方体为ABCD-EFGH，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有553C12=220种．

下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB、AD、AE的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或棱FG，共2种可能．当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG或DH．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为

82． ?220556．在平面直角坐标系xOy中，点集(x,y)(x?3y?6)(3x?y?6)?0所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设K1?{(x,y)||x|?|3y|?6?0}． 先考虑K1在第一象限中的部分，此时有

??x?3y?6,故这些点对应于图中的△OCD及其内部．由对称性知，K1对应的区域是图中以原点O

为中心的菱形ABCD及其内部．

同理，设K2?{(x,y)||3x|?|y|?6?0}，则K2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部．

由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被K1、K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题

所要求的即为图中阴影区域的面积S．

由于直线CD的方程为x?3y?6，直线GH的方程为3x?y?6，故它们的交点P的坐标为(,)．由对称性知，S?8S?CPG?8??4?3322123?24． 2

7．设?为正实数，若存在实数a,b(??a?b?2?)，使得sin?a?sin?b?2，则?的取值范围为 ． 答案：w?[9513,)[?,?．)解：sin?a?sin?b?2知，sin?a?sin?b?1，而424si?a,?b?[w?,2w?]，故题目条件等价于：存在整数k,l(k?l)，使得

w??2k???22当w?4时，区间[w?,2w?]的长度不小于4?，故必存在k,l满足①式． 当0?w?4时，注意到[w?,2w?]?(0,8?)，故仅需考虑如下几种情况：

?5?15?2w?，此时w?且w?无解； (i) w???22245?9?95??2w?，此时?w?; (ii) w??22429?13?13913??2w?，此时?w?,得?w?4． (iii) w??224249513综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到w?4亦满足条件，可知w?[,)[,??)．

424?2l????2w?． ①

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8．对四位数abcd(1?a?9,0?b，c,d?9)，若a?b,b?c,c?d,则称abcd为P类数；若a?b,b?c,c?d，则称abcd为Q类数，用N(P)和N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．

答案：285．解：分别记P类数、Q类数的全体为A、B，再将个位数为零的P类数全体记为A0，个位数不等于零的尸类数全体记为A1．

对任一四位数abcd?A1，将其对应到四位数dcba，注意到a?b,b?c,c?d?1，故

dcba?B．反之，每个dcba?B唯一对应于从中的元素abcd．这建立了A1与B之间的一一对应，因此有N(P)?N(Q)?|A|?|B|?|A0|?|A1|?|B|?|A1|．

下面计算|A0|对任一四位数abc0?A0, b可取0, 1，…，9，对其中每个b，由

b?a?9及b?c?9知，a和c分别有9?b种取法，从而

999?10?192|A0|??(9?b)??k2??285．

6b?0k?1因此，N(P)?N(Q)?285．

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9．（本题满分16分）若实数a,b,c满足2?4?2,4?2?4，求c的最小值． 解：将2,2,2分别记为x,y,z，则x,y,z?0．

由条件知，x?y?z,x?y?z，故z?y?x?(z?y)?z?2yz?y．8分

因此，结合平均值不等式可得，

2222222224abcabcabcy4?y111133221132y?z??(2y??)??3??2．12分 22y4yy4yy411332当2y?，即y?3时，z的最小值为32（此时相应的x值为32，符合要y442求）．

由于c?log2z，故c的最小值log2(3352)?log23?．16分 43

10．（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4为四个有理数，使得：

?aai31???1?i?j?4??24,?2,?,?,1,3?，求a1?a2?a3?a4的值． ?j28??解：由条件可知，aiaj(1?i?j?4)是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，

|?(i1?j?4|a1||a2|及|a1||a3|，中最小的与次小的两个数分别是最大与次大的

由此知，a1,a2,a3,a4的绝对值互不相等，不妨设|a1|?|a2|?|a3|?|a4|，则

|ai|a|j两个数分别是|a3||a4|及|a2||a4|，从而必须有

1?aa??,?128??aa?1, 10 分 ?13?a2a4?3,???a3a4??24,文档大全