剪切频率:ω c

幅值裕量:GM=-5.6dB 相角裕度:γ=-14.8°

幅值裕量和相角裕度皆为负值所以系统不稳定,而超前校正只能校正相角裕度,不能校正幅值裕量,滞后校正则相反,所以此次校正用滞后--超前校正。

图-2 系统的幅值裕量和相角裕度 三.滞后--超前校正的原理

滞后-超前校正RC网络电路图如图所示。 传递函数: ((((

(2

221121221122112 21 11 1 2

21111111(s C R C R s C R C R C R s C R s C R sC R sC R sC R sC R s E s M s G c ++++++=

+++ + = = 令1,, ,21221121

222111>++=+==βββ

C R C R C R T T C R T C R T ,则 ((((

s T s T s T s T s G c 21211111ββ+??? ?

? ?+++=

T 对控制系统进行串联滞后-超前校正的基本原理是利用滞后-超前校正装置的滞后部分改善控制系统的稳态性能,同时利用其超前部分改善控制系统的动态性能。在确定校正装置的参数时,两部分基本上可以独立进行。设计串联滞后-超前校正装置的基本步骤大致如下:

1.根据控制系统稳态性能指标的要求,确定校正后系统的开环放大数K 。 2.基于步骤(1中的开环放大倍数K ,绘制待校正系统的开环对数幅频特性('ωL ,并求出此时系统的截止角频率'c ω和相角稳定裕度'γ。

3.在待校正系统的对数幅频特性上,取斜率从-20dB/dec 变为-40dB/dec 的转折角频率b ω作为校正装置超前部分的第一转折角频率/(122T α,这实际上是利

e(t m(t R2 C2 R1 C1 + _ + _

用校正装置中超前部分的比例微分项和未校正系统中的惯性环节相对消的原理。 这样做即可以降低校正后系统的阶次， 又可以保证中频区域的斜率为-20dB/dec， 并占有较宽的频带。 4.根据响应的速度的要求，确定校正后系统的截止角频率 ?c ，并由该角频 率处待校正系统的对数幅值 L' (?c 计算校正装置滞后部分的分度系数 ?1 。 要保证 校正后系统的截止角频率为以确定的 ?c ，当 ?c ? ?b 时，下列等式成立 20lg?1 ? L' (?c ? 20lg(?c / ?b ? 0 5.根据滞后部分

在校正后系统的截止角频率 ?c 处产生的相角滞后越小越好 的原则，确定滞后部分的第二转折角频率 1 /(?1T1 ，一般可以取 1 /(?1T1 ? (1 / 5 ~ 1 / 10?c 进而计算出 T1 的值，则滞后-超前校正装置滞后部分的传递函数即可求出为 Gc1 (s ? ?1T1s ? 1 T1s ? 1 ， ?1 ? 1 6.根据系统相角稳定裕度 ? 的要求确定超前部分的时间常数 T2 ， 这时下列等 式成立 ? ? 180? ? ? (?c ? arctan?1T1?c ? arctanT1?c ? arctan? 2T2?c ? arctanT2?式中，c ? (?c 是待校正系统在校正后系统截止角频率 ?c 处的相角。由于上式中只 有 T2 还未知，因此可以解出来，从而得到超前部分的传递函数为 Gc 2 (s ? ? 2T2 s ? 1 T2 s ? 1 ,?2 ?这样， 1 串联滞后-超前校正装置的传递函数可以求出为 Gc (s ? Gc1 (sGc 2 (s ? (?1T1s ?1(? 2T2 s ? 1 ,?1 ? 1,? 2 ? 1 (T1s ? 1(T2 s ?校验校正后系统的性能指 1 7.标 第一次校正： 未校正系统在 ω = ω c=8.94s-1 处 L( ω =5.6dB ，为使校正后系统剪切频率为 8.94s-1，校正装置在此处应产生－5.6dB 的增益，在ω c =8.94s-1，L(ω c＝ －5.6dB 点处做一条斜率为+20dB/dec 的直线，该直线与 0 分贝线交点即为超前 校正部分的第二个转折频率。 1/T2 =16.985dB →T2=0.06/s 选取α =10，则超前部分的传递函数为： 1 ?T2 S ? 1 0.6S ? 1 GC(S= ? 0.1* ? T2 ? 1 0.06S ? 1

为补偿超前校正带来的幅值衰减，串入放大器，Kc=α =10。 滞后校正部分的参数(经验估算： 为使滞后部分对剪切频率附近的相角影响不大，选择滞后校正部分的第二个 转折频率为： ? 1 ? C ? 0.894 ,β =0.1，则滞后部分的第一个转折频率：1/T1=0.0894/S ?T1 10 ?T S ? 1 1.12S ? 1 滞后部分的传递函数： GC1 (s ? 1 ? T1S ? 1 11.2S ? 1 滞后--超前校正装置的传递函数： 40(0.6S? 1(1.12S? 1 GC (s ? G C1 GC 2 KC 2 ? S (0.2S? 1(0.0625S ? 1(0.06S? 1(11.2S?用 1 MATLAB 求校正前系统的幅值裕量和相位裕量 程序 4： num=40*conv([0.6,1],[1.12,1];

den=conv(conv(conv(conv([1,0],[0.2,1],[0.0625,1],[0.06,1],[11.2,1] ; margin(num,den 图 3 第一次校正后的幅值裕量和相角裕度 从中看出 相角裕度：γ =49.9°基本满足要求，幅值裕量：GM=11.3dB 与要求 30-40dB 还有很大差距，所以继续进行调整校正。 进行多次校正滞后发现，α =11，β =0.01,1/β T1=ω C/9.2 时，得到的幅值裕量： GM=30.5dB,相角裕度：γ =50°，满足校正后的要求。如图所示：

图 4 多次校正后的相角裕度和幅值裕量 用 MATLAB 编程绘出阶跃响应曲线 k=40; num=conv([0.66,1],[1.03,1];

den=conv(conv(conv(conv([1,0],[0.2,1],[0.0625,1],[0.06,1],[103,1] ; sys=tf(k*num,den; Lsys=feedback(sys,1,-1; [y,t,x]=step(Lsys; plot(t,y; Grid 图 5 阶跃响应曲线

发现虽然幅值裕量和相角裕度都符合要求，但是系统的快速性不好。 再 经 过 多 次 调 试 发 现 β=0.1 时 的 阶 跃 响 应 曲 线 如 图 ：