九年级数学上册

第一章 反比例函数

（一）反比例函数

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，

在解决有关自变

量指数问题时应特别注意系数

这一限制条件；

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中

的k，从而

得到反比例函数的解析式；

（二）反比例函数的图象与性质

1．函数解析式：（

）

2．自变量的取值范围：

3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，

且x应对称取点（关于原点对称）． （1）图象的形状：双曲线弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：自变量双曲线的渐近线． 当小； 当大．

（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（线的另一支上． 图象关于直线

）在

对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（

，

，

）在双曲

时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减

，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．

越小，图象的

双曲线的另一支上． 4．k的几

何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作积是（三角

PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面

形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，

由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为

．

图1 图2 5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨

论，不能一概而论．（2）直线没有交点；当

与双曲线的关系：当时，两图象

时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

（三）反比例函数的应用

1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．

2、反比例函数与一次函数的联系． 3、充分利用数形结合的思想解决问题．

第二章 一元二次方程

（一）一元二次方程

1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为ax2?bx?c?0（a、b、c为常 数，

a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

2、把ax2?bx?c?0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项（包括符号）。

（二）一元二次方程的解法

1、直接开平方法：如果方程化成 如果方程能化成根。

的形式，那么可得

(p≥0)的形式，那么

； 进而得出方程的

2、配方法：配方式

基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程

的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成左边为一个完全平方式，

右边化为一个常数；两边开方求其根。

?b?b2?4ac 3、公式法x? （注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式）

2a 4、分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”

和“十字相乘”）

（三）一元二次方程根的判别式

判别式⊿=b-4ac与根的关系：

2

当b-4ac>0时，则方程有两个不等的实数根； 当b2-4ac=0时，则方程有两个相等的实数根；

2

当b-4ac≥0时，则方程有两个实数根；

2

当b-4ac<0时，则方程无实数根

（，上述结论反之也成立，但注意都同时要满足二次项系数a≠0）

2

（四）一元二次方程根与系数的关系：

1、根与系数关系：如果一元二次方程ax2?bx?c?0的两根分别为x1、x2， 则有：

bx?x??, 12ax1?x2?c.（韦达定理） a2、一元二次方程的两根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称代数式的值，特别注意以下公式： ①

2x12?x2?(x1?x2)2?2x1x2 ②

11x1?x2??x1x2x1x2 ③

(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2

④|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2 ⑤(|x1|?|x2|)2?(x1?x2)2?2x1x2?2|x1x2|

333 ⑥x1?x2?(x1?x2)?3x1x2(x1?x2) ⑦其他能用x1?x2或x1x2表达的代数式。

（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：x2?(x?x2)x?x1x2?0，

1

（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程

x2?(x1?x2)x?x1x2?0 的两根。