中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案

高等数学(专科)

一、填空题： 1.函数y?x2?4?1的定义域是 。 x?1解：(??,?2]?[2,??) 。

2.若函数f(x?1)?x?2x?5，则f(x)? 。 解：x?6 3.lim22x?sinx? 。

x??x答案：1 正确解法：limx?sinxsinxsinx?lim(1?)?lim1?lim?1?0?1

x??x??x??x??xxxx2?ax?b?2，则a?_____, b?_____。 4.已知lim2x?2x?x?2由所给极限存在知，4?2a?b?0，得b??2a?4，

x2?ax?bx?a?2a?4?lim??2, 知a?2,b??8 又由lim2x?2x?x?2x?2x?13ex?b??，则a?_____, b?_____。 5.已知limx?0(x?a)(x?1)ex?b(x?a)(x?1)a?lim??, 即lim??0，∴a?0,b?1 xx?0(x?a)(x?1)x?01?be?b1??xsin6.函数f(x)??x??x?1x?0x?0的间断点是x? 。

解：由f(x)是分段函数，x?0是f(x)的分段点，考虑函数在x?0处的连续性。 因为 lim?xsinx?01?0lim?(x?1)?1f(0)?1

x?0x所以函数f(x)在x?0处是间断的，

又f(x)在(??,0)和(0,??)都是连续的，故函数f(x)的间断点是x?0。 7.设y?x?x?1??x?2?????x?n?, 则y?n?1??(n?1)!

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8.f(x)?x，则f(f?(x)?1)?__________。 答案：(2x?1)或4x?4x?1 9.函数z222?4x?y2ln(1?x2?y2)的定义域为 。

解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。

?4x?y2?0?y2?4x?y2?4x?????2?222221?x?y?0?x?y?1????0?x?y?1 ??2?2221?x?y?1x?y?0???????z 的定义域为：(x,y)|0?x2?y2?1且y2?4x}

?210.已知f(x?y,x?y)?xy?xy,则f(x,y)? . 解：令x?y?u，x?y?v，则x?u?vu?v,y?，f(x?y)(x?y)?xy(x?y) 222f(u,v)?u?vu?vuu2x?(u?v2)，f(x,y)?(x2?y2)

42224x,则fx?(0,1)? 。fy?(0,1)? 22x?y11.设f(x,y)?xy?∵ f(0,1)?0?0?0

f(?x,1)?f(0,1)?lim?x?0?x?x??x?0?x2?1?2 ?xfx?(0,1)?lim?x?0fy?(0,1)?lim?y?0f(0,?y?1)?f(0,1)0?0?lim?0。 ?y?0?y?y312.设z?x?siny,x?cost,y?t,则解：13.

dz??2xsint?3t2cosy dt2dz＝ 。 dtdddf(x)dx? 。 dx??解：由导数与积分互为逆运算得，

dddf(x)dx?f(x)。 dx??14.设f(x)是连续函数，且

? x3?1 0f(t)dt?x，则f(7)? 。

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233解：两边对x求导得3xf(x?1)?1，令x?1?7，得x?2，所以f(7)?13x2?x?21. 1215.若

???0e?kxdx?1，则k?_________。 2??11b?kx?kx答案：∵??edx?lim??ed(?kx)

0b???2k0b1111?lim?e?kx??lime?kb?

0b???kkb???kk∴k?2

16.设函数f(x,y)连续，且满足f(x,y)?x??D222其中D:x?y?a,则f(x,y)=______. f(x,y)d??y2，

4?a4x. 解：y?42 记A???f(x,y)d?，则f(x,y)?Ax?yD2D02，两端在D上积分有：A?a32??Axd????yDD2d?，其

中A，??y??xd??0（由对称性）

Dd???d???sin?d??02??a44.

即 A??a44，所以，f(x,y)?y?2?a44x.

17.求曲线y?4ax,x?2解：a2

322ay所围成图形的面积为 ，（a>0） 218.

?2n?12n?2x； n2n?12?解：令y?x，则原幂级数成为不缺项的幂级数

2n?1n?1y，记其各项系数为bn，因为?n2n?1?bn2n?12n?12n?12?2?y?2?0?x?2， R?lim?lim??2lim?2，则nn??bn??n??2n?12n?12n?1故?2?x?2.

1?当x??2时，幂级数成为数项级数?(2n?1)，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为

2n?1(?2,2).

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111?1?19.?y????y??0的满足初始条件y?1??,y??1??的特解为y??x??。

12412?2?2320.微分方程y???3y??0的通解为y?c1?c2e. 21.微分方程y???6y??13y?0的通解为y?e?3x3x?c1cos2x?c2sin2x?。

22.设n阶方阵A满足|A|=3，则=|?A???A??|= . 答案：??1?n1 3?123.11?111x是关于x的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 . ?11答案： 2;

31x24.f(x)=x25是 次多项式，其一次项的系数是 。 14x解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为4。

25.A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为 AB+BC+AC . 26.事件A、B相互独立，且知P?A??0.2,P?B??0.5则P?A解：∵A、B相互独立， ∴P(AB)=P(A)P(B)

∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6

27.A，B二个事件互不相容，P?A??0.8,P?B??0.1,则P?A?B?? .

解：A、B互不相容，则P(AB)=0，P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.8

28.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 .

解：设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标

可表示为ABC?ABC?ABC，即有 P(ABC?ABC?ABC)

=P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)=0.36

29.已知事件 A、B的概率分别为P（A）＝0.7,P（B）＝0.6,且P（AB）＝0.4，则P（AB?? .

B）＝ ；

P（A－B）＝ ；

解：P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.9

P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.7–0.4=0.3

30.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为 .

解：P(A+B)=1–P(A?B)?1?P(AB)?1?p

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二、单项选择题：

ax?1(a?0,a?1)（ ） 1.函数f(x)?xxa?1A.是奇函数 B.是偶函数； C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 解：利用奇偶函数的定义进行验证。

a?x?1a?x(1?ax)ax?1f(?x)?(?x)?x??x?x?xx?f(x) xa?1a(1?a)a?1所以B正确。 2.若函数f(x?211)?x2?2，则f(x)?（ ） xx22A.x B. x?2 C.(x?1) D.x?1 解：因为x?2211121122，所以?x?2??2?(x?)?2f(x?)?(x?)?2 22xxxxx2则f(x)?x?2，故选项B正确。 3.设f(x)?x?1 ，则f(f(x)?1)=（ ）．

A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3

解：由于f(x)?x?1，得 f(f(x)?1)?(f(x)?1)?1＝f(x)?2

将f(x)?x?1代入，得f(f(x)?1)=(x?1)?2?x?3 正确答案：D

x2?ax?b)?0，其中a,b是常数，则（ ） 4.已知lim(x??x?1(A) a?1,b?1, (B) a??1,b?1 (C) a?1,b??1 (D) a??1,b??1

?x21?a?x2??a?b?x?b?ax?b)?lim?0, 解：?lim(x??x?1x??x?1?1?a?0,a?b?0,?a?1,b??1 答案：C

5.下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A.e,1x(x??) B.

sinx,(x??)； xx?1?1,(x?0)x

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C.ln(1?x),(x?1) D.