?P?A1|B??P?A2|B?,则下列选项成立的是（ ）

（A）P??A?1A2?|B?PA1|B?PA2|B;

?????（B）P?A1（C）P?A1BA2?|B??P?A1??P?A2?

A2B??P?A1?P?B|A1??P?A2?P?B|A2?

（D）P?B??P?A1?P?B|A1??P?A2?P?B|A2?

解：由题可知A1、A2互斥，又0

三、解答题： 1.设函数

1?xsin?bx?0?x?f(x)??ax?0

?sinxx?0?x?问（1）a,b为何值时，f(x)在x?0处有极限存在？ （2）a,b为何值时，f(x)在x?0处连续？

解：（1）要f(x)在x?0处有极限存在，即要lim?f(x)?lim?f(x)成立。

x?0x?0x?0lim?f(x)?lim?x?0sinx?1x1?b)?b xx?0因为lim?f(x)?lim?(xsinx?0x?0所以，当b?1时，有lim?f(x)?lim?f(x)成立，即b?1时，函数在x?0处有极限存在，又因为

x?0函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。 （2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0)

x?x0x?x0于是有b?1?f(0)?a，即a?b?1时函数在x?0处连续。

x3?ax2?b?8，试确定a和b的值 2.已知limx?2x?2x3?ax2?b?8,?limx3?ax2?b?8?4a?b?0,即b??8?4a 解：?limx?2x?2x?2??第11页共18页

x3?ax2?bx3?ax2?4a?8?lim?lim?limx2??a?2?x?2a?4?4a?12?8, ??x?2x?2x?2x?2x?2?a??1,故b??4

?3.设f(x)??1?ex?1, x?0，求f(x)的间断点，并说明间断点的所属类型 ??ln(1?x),?1?x?011解：f(x)在??1,0?,?0,1?,?1,???内连续, limx?1??x?1x?1?e,limx?1?e?0, f?0??0, 1f(x)的第二类无穷间断点; xxlim?1?0?f?x??xlim?0?e?e?1,

xlim?0?f?x??lim?ln?1?x??0, 因此x?0是f(x)的第一类跳跃间断点.

x?04.求方程中y是x的隐函数的导数 （1）xy?ex?ey?1,y?

解：方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，即

(xy)??(ex)??(ey)??1? y?xy??ex?eyy??0

(x?ey)y??ex?y

y??ex整理得?yx?ey ）设y?sin(x?y)，求dyd2（2ydx，dx2； 解：y??cos(x?y)?(1?y?) y??cos(x?y)1?cos(x?y)

y????sin(x?y)?(1?y?)2?cos(x?y)?y??，

y????sin(x?y)[1?cos(x?y)]3??y[1?cos(x?y)]3

5.设z?z(x,y)由方程z?x?ez?y所确定, 求?2z?y?x.

解：设F(x,y,z)?ez?y?z?x,

第12页共18页

, x?1是

因此 Fx??1, Fy??ez?y, Fz?ez?y?1,

?zez?y1?z1?z?y?, , ?z?y?xe?1?ye?11?ey?z?2z?1?ey?z?ze2(y?z). ??()???y?zy?z2y?z3?y?x?x1?e(1?e)?x(1?e)6.设函数f(x)在[0,1]上可导，且0?f(x)?1，对于（0 ,1）内所有x有f'(x)?1,证明在（0,1）内有且只有一个数x使 f(x)?x.

设 F(x)?f(x)?x, 在 [0 ,1] 上用零点定理，得 F(x) 至少有一个零点.反设 F(x) 在 [0 ,1] 上存在两个零点c1,c2，即F(c1)?F(c2)?0,[c1,c2]? [0 ,1] ,

由Rolle定理可得至少有??(c1,c2) , 使 F?(?)?0 即 f?(?)?1?0?f?(?)?1,与题设矛盾，故在 (0 ,1) 内有且只有一个x, 使 f(x)?x.7.求函数y?x(1?x)的单调区间和极值.

解：函数y?x(1?x)的定义域是(??,?1)?(?1,??)

2?12?1?y??2x(1?x)?1?x2(?1)(1?x)?2

2x(1?x)?x2x(2?x)? ? 2(1?x)(1?x)2令 y??x(2?x)?0，得驻点x1??2，x2?0 2(1?x) (??,?2) + -2 0 极大值 (?2,?1)?(?1,0) - 0 0 极小值 (0,??) + f?(x) f(x) 故函数的单调增加区间是(??,?2)和(0,??)，单调减少区间是(?2,?1)及(?1,0)，当x?-2时，极大值f(?2)??4；当x?0时，极小值f(0)?0.

8.在过点P(1,3,6)的所有平面中, 求一平面，使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。

解：设平面方程为Ax?By?Cz?1, 其中A,B,C均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为

V?11, 且A?3B?6C?1, 令

6ABC第13页共18页

F(A,B,C,?)?ABC??(A?3B?6C?1), 则由

??F1???A?BC???0A???3?F???AC?3??01??, 求得 . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为 B???A?9??F??AB?6??01??C??A??18??A?3B?6C?1?xyz1???1, 且Vmin??3?9?18?81. 391869.求下列积分 (1)

???1x131dx

b解：

???1x131dx?limb???1?b1dx?limx31b???13??1x3123?lim(b3?1) b???212极限不存在，则积分发散. (2)

x2?y2?a2??a2?x2?y2d?

2解：f(x,y)?a2?x2?y2是D上的半球面，由I???a2?x2?y2d?的几何意义知I=V半球=?a3

3D(3)

??yd? ，D由 x?y?1,x?y?1,x?0 的围成。

D解：关于x轴对称，且f(x,y)?y是关于y的奇函数，

由I几何意义知，? ??yd??0。

D10.判别级数

an(?1)(1?cos)（常数a?0）的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? ?nn?1n?解：由(?1)(1?cos)?1?cosana，而 n1?coslimn??aaa2sin22()22n?lim2n?lim2n?a?0，

n??n??1112n2n2n2??a1由正项级数的比较判别法知，?(1?cos)与?2同时敛散.

nn?1n?1n第14页共18页

?1a而?2收敛，故?(1?cos)收敛，从而原级数绝对收敛.

nn?1nn?1??11.判别级数

?(?1)nn?21的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? lnn解：记un?(?1)?n?111?，则un??vn.

ln(n?1)n?1显见

??n?1???1去掉首项后所得级数?vn仍是发散的，由比较法知?un发散，从而?un发散。又显nn?1n?2n?1?1n1是Leibniz型级数，它收敛. 即?(?1)收敛，从而原级数条件收敛.

lnnln(n?1)n?2见

?(?1)n?1n?1xn12.求幂级数?在收敛区间上的和函数S(x)：

n(n?1)n?1?解：??liman?1n(n?1)?lim?1，所以R?1。

n??an??(n?1)(n?2)n?(?1)n又当x??1时，级数成为?，都收敛，故级数的收敛域为[?1,1].

n?1n(n?1)xn设级数的和函数为S(x)，即S(x)??.

n(n?1)n?1?xn?1再令f(x)?xS(x)??，

n(n?1)n?1??xn1n?1?逐项微分得，f?(x)??，f??(x)??x， 1?xn?1nn?1?? x 0f??(x)dx??1dx??ln(1?x)， 01?x xf?(x)?f?(0)?f?(x)??ln(1?x), f?(0)?0，

? x 0f?(x)dx???ln(1?x)dx??xln(1?x)0?? 0 xxxdx 01?x x??xln(1?x)?x?ln(1?x)?(1?x)ln(1?x)?x，

故f(x)?x?(1?x)ln(1?x)，又显然有S(1)?1，故

第15页共18页