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2001-2012年天津市中考数学试题分类解析汇编(12专题)
专题12:押轴题
9. (天津市2009年3分)如图,有一个边长为5的正方形纸片ABCD,要将其剪拼成边长分别为a,b的两个小正方形,使得a2?b2?52.①a,b的值可以是 ▲ (写出一组即可);②请你设计一种具有一般性的裁剪方法,在图中画出裁剪线,并拼接成两个小正方形,同时说明该裁剪方法具有一般性: _____________________
【答案】①3、4。
②裁剪线如图所示(红线):图中的点E是以AB为直径的半圆上的任
意一点(点A、B除外),连接BE并延长交DA于点F;过点C作CG⊥BF,垂足为点G;过点F作FH∥AB,交BC于点H;过点H作HI⊥CG,垂足为点I。则裁剪线为BF、AE、CG、HI。其中AE和BE即为两个小正方形的边长。
DCIFbAEaGBbH由于点E是以AB为直径的半圆上的任意一点(点A、B除外),从而
该裁剪方法具有一般性。
【考点】正方形的性质和判定,勾股定理的应用,圆周角定理,平行和垂直的性质 【分析】①使得a2?b2?52.由直角三角形勾股定理的很容易联想到a,b的值是3、4。
②∵点E是以AB为直径的半圆上的任意一点(点A、B除外), ∴∠AEB=900。∴AE2+BE2=AB2,即a2?b2?52。 其余证明略。拼接方法如图所示:红字母即为拼接的位置:
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(E)(A)DC(B)(C)(H)EGAB(A)I(F)H(E)(I)F
10. (天津市2010年3分)有一张矩形纸片ABCD,按下面步骤进行折叠:
第一步:如图①,将矩形纸片ABCD折叠,使点B、D重合,点C落在点C′处,得折
痕EF;
第二步:如图②,将五边形AEFC′D折叠,使AE、C′F重合,得折痕DG,再打开; 第三步:如图③,进一步折叠,使AE、C′F均落在DG上,点A、C′落在点A′处,点
E、F落
在点E′处,得折痕MN、QP.
这样,就可以折出一个五边形DMNPQ.
(Ⅰ)请写出图①中一组相等的线段 ▲ (写出一组即可);
AD?b,(Ⅱ)若这样折出的五边形DMNPQ(如图③)恰好是一个正五边形,当AB?a,
DM?m
时,有下列结论:
①a2?b2?2abtan18?; ②m?a2?b2?tan18?; 3③b?m?atan18?; ④b?m?mtan18?.
2其中,正确结论的序号是 ▲ (把你认为正确结论的序号都填上). .
【答案】(Ⅰ)AD=C′D (答案不惟一,也可以是AE=C′F等);(Ⅱ)①②③。
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【考点】矩形的性质,折叠的性质,
【分析】(Ⅰ)根据矩形和折叠的性质,直接得出结果。
(Ⅱ)①∵将矩形纸片ABCD折叠,使点B、D重合,∴DE=BE。
设AE=x,则由AB?a得BE= DE=a?x。
在Rt△ADE中,由勾股定理,得AE2+AD2=DE2,则由AE=x,AD?b,
DE=a?x得
2x2?b2=?a?x?,展开得,a2?b2?2ax。
又∵在正五边形中(如图③),∠C'DA=108°,则∠ADE=108°-90°=18°。 tan18?。 ∴在Rt△ADE中,AE=AD·tan∠ADE,即x?b·∴a2?b2?2abtan18?。所以①正确。
②如图,连接GB,NB。由矩形和折叠的性质知点D、G、B
共线;点M、N、B共线,且∠NGB=900。
由题意知:正五边形边长DM?m,则NG=
GB=DB?1∠GBN=18°,m,21212a?b2。 2∴在Rt△GBN中,tan?GBN?NG, GB即tan180?12a?b221m2?m?a2?b2?tan18?。所以②正确。
③由题意知:∠NBA=18°,AB?a,MA=b?m, ∴在Rt△ABM中,tan?NBA?即tan180?MA, ABb?m?b?m?atan18?。所以③正确。 a④如图,过点N作NH∥BD,交MQ于点H。
则∠MNH=∠GBN=18°,MN=DM?m,MA′= MA=b?m,
HA′= NG=
311m,即MH= MA′-HA′=b?m-m=b?m。
222MH∴在Rt△MNH中,sin?MNH?,
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