第一章答案与提示

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第一、二节．

一．1. （1）0 （2）5 （3）

n(n?1)n(n?1) （4） （5）n(n?1) 22 3. a11a23a34a42,?a14a23a31a42 4. 正（(?1)6，注意将行标写为标准次序） 5. (?1)n?1 6. 2，1 （将行标写为标准次序列标排列的逆序数应为奇数）

7. -2 （只有主对角线上的元素相乘为x） 8.

3n(n?1) 229. 0 （一元n次方程n个根之和为n?1次项的系数，本题n?1次项为x，其系数为0，也即

a?b?c?0，利用行列式的性质可得结果为0，超纲题） n(n?1)?t 10.

2二．1. D?6?410?4610DD ，D1? ，D2?，x1?1?3,x2?2?2

DD575292972. x1?0,x2?0 （仿照1的做法） 三．1. 0（直接利用对角线法则，也可用性质计算）

122.

342341341241r1?r2?r3?r4??????????????2310101010112341r1?1023????10?????341234412341141211 23111111111111r2?2r1012?1r3?r2012?1r4?r3012?1r3?3r1??????????????101010?160 ???????????????r4?4r1r4?3r201?2?100?4000?400?3?2?1004?4000?4（本题也可用行列式的按行（列）展开来做。）

3. 按定义只有一项不为0，乘积abcd的列标排列为1324，逆序数为奇数，故为 ?abcd 4. 乘积n!的列标排列为23?n1，其逆序数为n?1，故结果为(?1)n?1n!

(n?2)(n?1)(n?2)(n?1)5. 乘积n!的列标排列为(n?1)(n?2)?21n，其逆序数为，故结果为(?1)2n! 26. (?1)n(n?1)2a1na2(n?1)?an1

1

四． 错。 应该为a11a22a33a44?a14a23a32a41?a11a23a32a44?a14a22a33a41

第三、四节．

一.1. A （B,C,D为充分条件） 2. C（由教材P23定理1.4.1可得） 3.C 二．1．0, （各列都加到第一列则第一列元素全为0）

a11det)aij??2. (?1)na，（(an13. 0

?1an?a11??a1n??,而det(?aij)????,每行提公因子?1）

?ann?an1??ann4. 15 ， （D?a12A12?a22A22?a32A32?a42A42?(?1)?(?5)?2?3?0?7?1?4?15） 5. k（提出第二列公因子k）；8（每行提公因子2）；-12（c2?三．

1c1，第一列提公因子4，第二列提-3） 21031002041.199??????200395???????100?12?5???????1000c2?1003013006001301c1?c2c3?2c2314r2?r3r1?3r30?8534?5?2000 0412. 1001251202142c4?c2??????????c2?2c1074?71010?15018023?72300按第2行展开????????????????152?5

2?5116168r1?r2????????????170?17?0 r2?2r3116x103.

y300x20x4y10x300x1y10x300x20x40x1y1x30000x2x400 y2y4y2c2?c30???????????0y3y40y2r2?r3y3??????????00y40?x1y3y1x3?x2y4y2x4?(x1x3?y1y3)(x2y4?x4y2)

4.(x?a)n?1?x?(n?1)a? （参考教材P19例1.3.4）

11?x1y2?1?x1yn???x1y1?1?x1y2??1?x1yn??

5.由行列式性质5（P16）Dn?11?x2y2?1?x2yn??11?xny2?1?xnynx2y11?x2y2?1?x2ynxny11?xny2?1?xnyn 2

1x1y2?????x1yn??y1x11?1x21?1????xn1?1?0

1x2y2?x2yn1xny2?xnyn

第五节

一. D （A,B,C充分不必要） 二．x1?2,x2??9118,x3??,x4?（所需计算的5个行列式恰好都是范德蒙德行列式） 2105三．因有唯一解，所以系数行列式不等于0，即

9D???1?12??(4?2?13??9)?0，解得??1或??

4414四．4x?y?3z-8?0（可先求法向量再由平面的点法式得方程）

综合题

一. 1.C（B应为正，D应为负）

2. B（第二列加第一列，第三列加第二列，第二列提公因子2，第三列提公因子3，交换一、三行）

2?1c13. A（A21?A22?A23?A24?**14.B（即ac1**c1**c1?0） **11bc?0） bccaab1?35.A（元素-3的代数余子式为(?1)12）

?26二．1. ?a11a24a35a43a52,a11a23a35a44a52（行列式定义）

2. 0 （A， 11?A12?1?A11?1?A12?0?A13?0?A14?0?A15将D的第一行写为1,1,0,0,0即可）0 （同理将第一行换为0,0,1,1,1）

3. ??1（按克拉默法则系数行列式不等于0） 4. (?1)n(n?1)2n(n?1) （将D1做行互换得到D，共做次相邻的行互换） 25. -28 （将D的最后一行换为-1,1，-1,1；注意余子式与代数余子式的关系） 6. -1（出现x的项有两个，系数分别是1和-2）

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