考试科目：弹塑性力学试题
班号研班姓名成绩 一、概念题
（1）最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。
（2）最小余能原理等价于应变协调方程和位移边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程和静力边界条件。
（3）弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以应力为基本未知量。 二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p作用，试求该问题的应力和位移分量的解。
解：边界条件为： r?a时：?r??p；?r??0。 r?b时：ur?0；u??0。 将上述边界条件代入公式得： 解上述方程组得： 则该问题的应力和位移分量的解分别为： p b a 三、已知弹性半平面的o点受集中力p时，在直角坐标下半平面体内的应力分量为： O 利用上述解答求在弹性半平面上作用着n个集中力pi构成的力系， P y P1 P2 Pi Pn a O x y1y y2 yi ynx 这些力到所设原点的距离分别为yi,试求应力?x,?y,?xy的一般表达式。
解：由题设条件知，第i个力pi在点（x，y）处产生的应力将为： 故由叠加原理，n个集中力构成的力系在点（x，y）处产生的应力为：
四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，弹簧系数为k,承受分布荷载q(x)作用。试用最小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。
1l?d2w?解：第一步：全梁总应变能为：U??wdv??EI?2?dx
v20?dx?外力做功为：T?212qwdx?kw|x?l ?02l2l1l?d2w?12总势能为：??U?T??EI?2?dx??qwdx?kw|x?l 020?dx?2第二步：由最小势能原理可知： ???0等价于平衡微分方程和静力边界条件。 l?d2w??d2w????EI?2???dx?q?wdx?kw?w|x?l（*） 2???00?dx??dx?ll?d2w??d2w??d2w?d??dw???dx??EI?2????其中?EI?2?????dx 2??00dxdxdxdxdx??????????l将其代入（*）式并整理可得： d2wdw由于当x?0时，?0，2?0； dxdxd2??d2w????q(x)?0（0≤x≤l） 所以平衡微分方程为：2?EI?2???dx??dx????d??d2w???????0??kw??EI??2???dx??dx???????x?l静力边界条件为：? 2??dw????dx2???0?x?l??五、已知空间球对称问题的一般解为： uR?AR?BR2
b E2EA?B1?2?(1??)R3EE?T?A?B1?2?(1??)R3?R?qa a qb 其中R是坐标变量，uR是径向位移，?R,?T分别是径向与切向应力。首先求出空心球受均匀内外压qa,qb时的
解答，然后在此基础上导出无限大体中有球形孔洞，半径为a，内壁受有均匀压力q时的解答。 解：（1）相应空心球受均匀内外压qa,qb时的边界条件为：
R?a：?R??qa R?b：?R??qb
将上述边界条件代入得： 可解得：
故空心球受均匀内外压qa,qb时的解为：
（2）当无限大体中有球形孔洞，半径为a，内壁受有均匀压力q时，即在上式中令qa?q、qb?0、b??，则可得： 六、已知 推导以位移分量表示的平衡微分方程。 解：由?ij?1(ui,j?uj,i)得 2将上述两式代入?ij??e?ij?2??ij，得到 代入?ij,j?Fi?0得 而?uk,kj?ij??uk,ki??uj,ji，uj,ji?uj,ij 故平衡方程可写成 由因为uj,ji?2?2?2?e2?(uj,j)i?(e),i?；ui,jj?(ui),jj?(2?2?2)ui??ui ?x?y?z?xi2所以以位移分量表示的平衡微分方程的最终形式为：??ui?(???)?e?Fi?0。 ?xi七、证明弹性力学功的互等定理（用张量标记）。 证明：（1）先证可能功原理 考虑同一物体的两种状态，这两种状态与物体所受的实际荷载和边界约束没有必然的联系。第一状态全用力学量（Fi?s?、Pi?s?、?ij?s?）来描述，它在域内满足平衡方程
并在全部边界条件上满足力的边界条件：
第二状态全用几何量（?ij?k?,ui?k?）来描述。它在域内满足几何方程
且要求全部边界位移等于域内所选位移场在边界处的值。从而利用力的边界条件和高斯积分定理，可得 利用平衡方程，式（*）右端第一项可化为 第二项利用张量的对称性和几何方程可改写成 即式（*）成为
式（**）即为可能功原理。
（2）考虑同一物体的两种不同真实状态，设第一状态的体力和面力为Fi?1?和Pi
?1?，相应的应力、应变状态为