247 弧长与扇形面积

第1课时 弧长与扇形面积

1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程；

2．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算(难点)．

一、情境导入

在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度应该怎么计算呢？

二、合作探究

探究点一：与弧长有关的计算 【类型一】 求弧长

如图，⊙O的半径为6c，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦B∥AO若∠A＝30°，则劣弧(B,︵

)的长为________c

解析：连接OB、O，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°∵B∥AO，∴∠OB＝∠AOB＝60°在等腰△OB中，∠BO＝180°－2∠OB＝180°－2×60°＝

1

60°∴(B,︵

)的长为

60×π×6

＝2π 180

方法总结：根据弧长公式l＝圆心角n的大小．

nπR180

，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R和它所对的

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】 利用弧长求半径或圆心角 π

(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是________；

2π

(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为________．

3解析：(1)若设扇形的半径为R，则根据题意，得

45×π×Rπ

＝，解得R＝2 1802

(2)根据弧长公式得

n×π×1π180

＝3

，解得n＝60，故扇形圆心角的大小为60°

方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型三】 求动点运行的弧形轨迹 如图，Rt△AB的边B位于直线l上，A＝3，∠AB＝90°，∠A＝30°若Rt△

AB由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．

解析：点A第1次落在直线l上所经历的路线的长为一个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长，此后每落在直线l上一次，都会经历一个半径长为2，圆心角为120°的扇形弧长和一个半径为3，圆心角为90°的扇形弧长之和，故点A第3次落在直线l上所

2

经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为3，圆心角120π×290π×3

为90°的扇形弧长之和，即l＝3×＋2×＝4π＋3π故填(4＋3)

180180π

方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况的规律，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 探究点二：与扇形面积相关的计算 【类型一】 求扇形面积 一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保

留π)．

解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S＝

nπr2120×32π360

＝

360

＝3π

方法总结：扇形面积公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇1

形面积还有另外一种求法S＝lr，其中l是弧长，r是半径．

2

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】 求运动形成的扇形面积 如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板AB绕直角顶点顺时针旋

转90°到△A1B1，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )

A．π B3

3π311π3＋ D＋ 42124

3