Born To Win

考研数学:你不知道的“极值”

关于“极值”，大家或许感觉对它的了解是足够的，随口就可以说出：极值是局部的最值。事实上，它还有很多你没有注意到的细节，或许你只是“雾里看花，水中望月”而已，下面，跨考教育数学教研室的邵伟如老师为大家梳理极值的相关知识，了解你不知道的极值。

1、 极值的定义 “设函数f(x)在点x0的某邻域(x0??,x0??)内有定义，若对任意的

x?(x0??,x0)(x0,x0??)，有f(x)?f(x0)（或f(x)?f(x0)），则称x?x0为函数

f(x)的一个极大值点（或极小值点），并称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（或极小值）.”

从定义可以看出，一个点想要称为是极值点，唯一的要求就是此点处的函数值比它左邻域及右邻域内的函数值都要大（极大值）或者都要小（极小值），至于此点处函数的性态，比如连续性、可导性，并未做要求。换句话说，一个点是极值点，那么这个点可能是连续点，也可能是间断点，还可能是不可导点。另外，作为一个极值点，要求它的左右两侧邻域内都有定义，所以，极值点是不可能取在区间端点处的，这是和最值点的一个重要区别。

2、 极值的必要条件

“设函数f(x)在x0处可导并在x0处取得极值，则f'(x0)?0.”

必要条件表明（1）、可导的极值点必是驻点；（2）、可疑的极值点包含两类：驻点与不可导点。那么，由此引申，极值点一定是驻点，错！驻点一定是极值点，错！

3、 极值的充分条件 第一充分条件

设函数f(x)在x0处连续，并在x0的某去心邻域(x0??,x0)''(x0,x0??)内可导.

①若x?(x0??,x0)时f(x)?0,而x?(x0,x0??)时f(x)?0,则f(x)在x0处取得极大值；②若x?(x0??,x0)时f(x)?0,而x?(x0,x0??)时f(x)?0,则f(x)在x0处取得极小值；③若x?(x0??,x0)不能取到极值.

一句话，第一充分条件告诉我们，可疑的极值点中哪些才是真正的极值点？就是那些一阶导函数在左右邻域变号的才是。这一点想必大家都清楚，但是既然是充分条件，那么说明，一阶导函数在左右邻域变号的是极值点，但是极值点的左右邻域内一阶导函数未必变号，大家是否注意到了呢？你能举出反例吗？

人生也许就是要学会愚忠。选我所爱，爱我所选。

''(x0,x0??)时，f'(x)符号保持不变，则f(x)在x0处

第二充分条件

Born To Win

设函数f(x)在x0处存在二阶导数且f'(x0)?0，

①若f''(x0)?0,则f(x)在x0处取得极小值；②若f''(x0)?0,则f(x)在x0处取得极大 值；③若f''(x0)?0,则f(x)在x0处是否取极值未知.

第二充分条件与第一充分条件相比，优势在于操作简便，缺点在于只能判别驻点是否为极值，不可导点处是否为极值是判定不出的。另外，第二充分条件要求大家都会证明，顺便复习了极限的局部保号性。

通过这篇文章希望同学们能体会，在第一遍基础学习的时候我们一定要把知识学细，学透，不留任何疑问，这样厚实的基础，一定会在二阶方法的学习时形成强大的后劲！

文章来源：跨考教育

人生也许就是要学会愚忠。选我所爱，爱我所选。