高等数学复旦大学出版社习题参考答案七 下载本文

习题七

1. 在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置: A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限;

点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点?yOz面上的呢?zOx面上的呢? 答: 在xOy面上的点,z=0;

在yOz面上的点,x=0; 在zOx面上的点,y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点?y轴上的点呢?z轴上的点呢? 答:x轴上的点,y=z=0;

y轴上的点,x=z=0; z轴上的点,x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离: (1) (0,0,0),(2,3,4); (2) (0,0,0), (2,-3,-4); (3) (-2,3,-4),(1,0,3); (4) (4,-2,3), (-2,1,3). 解:(1)s?22?32?42?29 (2) s?(3) s?(4) s?22?(?3)2?(?4)2?29 (1?2)2?(0?3)2?(3?4)2?67 (?2?4)2?(1?2)2?(3?3)2?35. 5. 求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5). 故 s0?242?(?32)?5?5 2sx?(4?4)2?(?3?0)2?(5?0)2?34 sy?42?(?3?3)2?52?41 sz?42?(?3)2?(5?5)2?5.

6. 在z轴上,求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点.

解:设此点为M(0,0,z),则

(?4)2?12?(7?z)2?32?52?(?2?z)2

解得 z?14 9153 / 21

即所求点为M(0,0,

14). 97. 试证:以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.

证明:因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证:(a?b)?c?a?(b?c). 证明:利用三角形法则得证.见图7-1

图7-1

9. 设u?a?b?2c, v??a?3b?c.试用a, b, c表示2u?3v. 解:

2u?3v?2(a?b?2c)?3(?a?3b?c)?2a?2b?4c?3a?9b?3c ?5a?11b?7c10. 把△ABC的BC边分成五等份,设分点依次为D1,D2,D3,D4,再把各分点与A连接,试以AB?c,BC?a表示向量D1A,D2A,D3A和D4A. 解:D1A?BA?BD1??c?1a 52D2A?BA?BD2??c?a

53D3A?BA?BD3??c?a

54D4A?BA?BD4??c?a.

511. 设向量OM的模是4,它与投影轴的夹角是60°,求这向量在该轴上的投影. 解:设M的投影为M?,则

PrjuOM?OMcos60??4?1?2. 212. 一向量的终点为点B(2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量的起点A的坐标.

解:设此向量的起点A的坐标A(x, y, z),则

AB?{4,?4,7}?{2?x,?1?y,7?z}

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解得x=-2, y=3, z=0

故A的坐标为A(-2, 3, 0).

13. 一向量的起点是P1(4,0,5),终点是P2(7,1,3),试求: (1) PP12在各坐标轴上的投影; (2) PP12的模;

(3) PP12的方向余弦; (4) PP12方向的单位向量. 解:(1)ax?PrjxPP12?3, ay?PrjyPP 12?1, az?PrjzPP12??2.

(2) PP(7?4)?(1?0)?(3?5)?14 12?(3) cos??222axPP12?3 14 cos??ayPP12azPP12?1 14?2. 14 cos???(4) e0?PP12PP12?{31?2312,,}?i?j?k. 14141414141414. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方向余

弦.

解:R=(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)

|R|?22?12?42?21

cos??214, cos??, cos??. 21212115. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模,并分别用单位向量ea,eb,ec来表达向量a, b, c.

解:|a|?12?12?12?3 |b|?22?(?3)2?52?38 |c|?(?2)2?(?1)2?22?3

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