1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词

[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.

知识点一 全称量词和全称命题

(1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.

(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.

知识点二 存在量词和特称命题

(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.

(2)特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”. 思考 (1)在全称命题和特称命题中，量词是否可以省略？ (2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？

答案 (1)在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.

(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?x∈N，x≥0”.

题型一 全称量词与全称命题

例1 试判断下列全称命题的真假： (1)?x∈R，x2＋2>0； (2)?x∈N，x4≥1；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解 (1)由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“?x∈R，x2＋2>0”是真命题.

(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题.

(3)由于?α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题.

反思与感悟 判定全称命题的真假的方法：(1)定义法，对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；(2)代入法，在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假. 跟踪训练1 试判断下列全称命题的真假： (1)?x∈R，x2＋1≥2； (2)任何一条直线都有斜率； (3)每个指数函数都是单调函数. 解 (1)由于?x∈R，都有x2≥0，

因而有x2＋1≥1，所以“?x∈R，x2＋1≥2”是假命题.

π

(2)当直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题.

2(3)无论底数a＞1或是0

题型二 存在量词与特称命题

例2 判断下列特称命题的真假： (1)?x0∈Z，x30<1；

(2)存在一个四边形不是平行四边形；

(3)有一个实数α，tanα无意义； π

(4)?x0∈R，cosx0＝. 2

解 (1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， ∴“?x0∈Z，x30<1”是真命题. (2)真命题，如梯形.

π

(3)真命题，当α＝时，tanα无意义.

2π

(4)∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而>1，

2π

∴不存在x0∈R，使cosx0＝，

2π

∴“?x0∈R，cosx0＝”是假命题.

2

反思与感悟 判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.

跟踪训练2 试判断下列特称命题的真假：

2

(1)?x0∈Q，x0＝3；

2(2)?x0，y0为正实数，使x20＋y0＝0；

(3)?x0∈R，tanx0＝1； (4)?x0∈R，lgx0＝0.

解 (1)由于使x20＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，

所以命题“?x0∈Q，x20＝3”为假命题.

222(2)因为x0>0，y0>0，所以x20＋y0>0，所以“?x0，y0为正实数，使x0＋y0＝0”为假命题.

ππ

(3)当x0＝时，tan＝1，所以“?x0∈R，tanx0＝1”为真命题.

44(4)当x0＝1时，lg1＝0，所以“?x0∈R，lgx0＝0”为真命题.

题型三 全称命题、特称命题的应用

例3 (1)若命题p：存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0，求实数a的取值范围；

(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.

2

解 (1)由ax20＋2x0＋a<0，得a(x0＋1)<－2x0，

2x02∵x0＋1>0，∴a<－2＝－x0＋1

， 1x0＋

x0

2