由于

X1?X22?~N(0,1) 所以U?(X1?X22?)2~?2(1)，

2X32X4X52V?2?2?2~?2(3) 根据F分布的 定义

???U/13(X1?X2)22?F???~F(1,3) （**） 22V/3X32X42X32?X4X52?X52?2?2/32???比较 （*）和（**）式，解得 k?

(X1?X2)23 2概率论与数理统计练习题

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第七章 参数估计（一）

一、选择题：

1．矩估计必然是 [ C ] （A）无偏估计 （B）总体矩的函数 （C）样本矩的函数 （D）极大似然估计 2．设x1,x2是正态总体N(?,1)的容量为2的样本，?为未知参数，?的无偏估计是 [ D ] （A）

24123123x1?x2 （B）x1?x2 （C）x1?x2 （D）x1?x2 33444455 3．设某钢珠直径X服从正态总体N(?,1)（单位：mm），其中?为未知参数，从刚生产的一大堆

22钢珠抽出9个，求的样本均值x?31.06，样本方差S9?0.98，则?的极大似然估计值为 [ A ]

（A）31.06 （B）(31.06?0.98 , 31.06 + 0.98) （C）0.98 （D）9×31.06 二、填空题：

?与??都是总体未知参数?的估计量，称??比??有效，则??与??的期望与方差一定满 1．如果?121212足E?1?E?2??,D?1?D?2

2．设样本x1?0.5,x2?0.5,x3?0.2来自总体X~f(x,?)??x46

??1^^^^，用最大似然法估计参数?时，

似然函数为L(?)? ?(0.05)3??1.

23．假设总体X服从正态分布N(?,?),X1,X2,Xn(n?1)为X的样本，??C?(Xi?1?Xi)22i?1n?1是?的一个无偏估计，则C? 三、计算题：

2

1. 2(n?1) 1．设总体X具有分布律，其中?(0???1)为未知参数，

X12232pi?2?(1??)(1??)

已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1，试求?的最大似然估计值。 解：该样本的似然函数为L(?)???2?(1??)?2??2?. 令L'(?)?0得??

2． 设x1,x2,4565. 6?1?,xn是来自于总体X~f(x)?????00?x??其它 (??0)的样本,

试求（1）

?) （2）?的极大似然估计?2，并计算E(??的无偏估计?1；2解：(1) 由于X服从均匀分布，E(X)?令??2X.

因为E??2EX?2?? ,?2， E(X)??2

?2 故?的无偏估计为2X.

?，因而直接考虑按最大似然法的思想来确定?? (2) 由于无法从L?(?)?0得到最大似然估计? 欲使L(?)最大，?应尽量小但又不能太小，它必须满足??xii?1,2,3,n

{,2x,3 即 ??maxx1x,nx }xn}时，

否则L(?)?0，而0不可能是L(?)的最大值。因此，当??max{x1,x2,x3,47

??max{x,x,x,L(?)可达最大。?123??max{X,X,X,?123xn}即为?的最大似然估计值，

Xn}即为?的最大似然估计量

?(??1)x?3．设总体X的概率密度为f(x)???0解：因为 EX?0?x?1，其中???1是未知参数，X1,X2,其它,Xn为一个样本，试求参数?的矩估计量和最大似然估计量。

?10x?(??1)x?dx???1, ??2 用样本一阶原点矩作为总体一阶原点矩的估计，

即： X?EX?2X?1??1. , 得????21?X2X?1. 1?X? 故?的矩估计量为

n 设似然函数L(?)?(?1x)??ii?1(?)nl?n(?1，即lnL??)??i?1nixl nndlnL?()ndlnL(?)???lnxi，令?0， 则

d???1i?1d????1?得 ?Ln?lnxi?1n

i

48

概率论与数理统计练习题

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第七章 参数估计（二）

一、选择题：

x1,x2,?已知， 1．设总体X服从正态分布X~N(?,?)，其中?未知，

221n,xn为样本，x??xi,

ni?1则?的置信水平为0.95的置信区间是 [ D ] （A）(x?Z0.95?n,x?Z0.95?n) （B）(x?Z0.05?n,x?Z0.05?n)

（C）(x?Z0.975?n,x?Z0.9752?n) （D）(x?Z0.025?n,x?Z0.025?n)

2

2．设总体X~N(?,?)，对参数?或?进行区间估计时，不能采用的样本函数有 [ D ]

n?X?X?X??X?? （A） （B） （C）??i? （D）Xn?X1

???/nS/ni?1?2二、填空题：

49

1．设总体X的方差为(0.3)，根据来自X的容量为5的简单随机样本，测得样本均值为21.8，则X的数学期望的置信度为0.95的置信区间为

(x?Z0.025三、计算题：

1．设冷抽铜丝的折断力服从正态分布X~N(?,?)，从一批铜丝任取10根，测得折断力如下：578、572、570、568、572、570、570、596、584、572，求方差?的0.90的置信区间。

2

22?n,x?Z0.025=(21.54,22.06)

?n)(n?1)S2(n?1)S2解：?未知，求?置信水平为1??的置xm信区间为(2,).

??/2(n?1)?12??/2(n?1)2

,2?75.?73?, 这里n?10S2

22?0.1,?(9)?16.1?9,0.050.995 (9)3.325. 代入得?的置信区间为(40.284,204. 9

2．设自总体X~N(?,25)得到容量为10的样本，算的样本均值X?19.8，自总体Y~N(?,36)得到容量为10的样本，算的样本均值Y?24.0，两样本的总体相互独立，求?1??2的90%的置信区间。

解：?1,?2均已知，求?1??2置信水平为1??的置信区间为

22(X?Y?Z?2?12n1?2?2n2,X?Y?Z?2?12n1?2?2n2)

22这里n1?n2?10，X?19.8，Y?24.0，?1?25,?2?36，??0.1,Z0.05?1.645.

代入得?1??2的置信区间为(?8.2628,?0.1372).

3．某车间两条生产线生产同一种产品，产品的质量指标可以认为服从正态分布，现分别从两条生产线的产品中抽取容量为25和21的样本检测，算的修正方差分别是7.89和5.07，求产品质量指标方差比的95%的置信区间。

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