概率论与数理统计 - 同济大学第二版练习册答案 下载本文

由于

X1?X22?~N(0,1) 所以U?(X1?X22?)2~?2(1),

2X32X4X52V?2?2?2~?2(3) 根据F分布的 定义

???U/13(X1?X2)22?F???~F(1,3) (**) 22V/3X32X42X32?X4X52?X52?2?2/32???比较 (*)和(**)式,解得 k?

(X1?X2)23 2概率论与数理统计练习题

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第七章 参数估计(一)

一、选择题:

1.矩估计必然是 [ C ] (A)无偏估计 (B)总体矩的函数 (C)样本矩的函数 (D)极大似然估计 2.设x1,x2是正态总体N(?,1)的容量为2的样本,?为未知参数,?的无偏估计是 [ D ] (A)

24123123x1?x2 (B)x1?x2 (C)x1?x2 (D)x1?x2 33444455 3.设某钢珠直径X服从正态总体N(?,1)(单位:mm),其中?为未知参数,从刚生产的一大堆

22钢珠抽出9个,求的样本均值x?31.06,样本方差S9?0.98,则?的极大似然估计值为 [ A ]

(A)31.06 (B)(31.06?0.98 , 31.06 + 0.98) (C)0.98 (D)9×31.06 二、填空题:

?与??都是总体未知参数?的估计量,称??比??有效,则??与??的期望与方差一定满 1.如果?121212足E?1?E?2??,D?1?D?2

2.设样本x1?0.5,x2?0.5,x3?0.2来自总体X~f(x,?)??x46

??1^^^^,用最大似然法估计参数?时,

似然函数为L(?)? ?(0.05)3??1.

23.假设总体X服从正态分布N(?,?),X1,X2,Xn(n?1)为X的样本,??C?(Xi?1?Xi)22i?1n?1是?的一个无偏估计,则C? 三、计算题:

2

1. 2(n?1) 1.设总体X具有分布律,其中?(0???1)为未知参数,

X12232pi?2?(1??)(1??)

已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1,试求?的最大似然估计值。 解:该样本的似然函数为L(?)???2?(1??)?2??2?. 令L'(?)?0得??

2. 设x1,x2,4565. 6?1?,xn是来自于总体X~f(x)?????00?x??其它 (??0)的样本,

试求(1)

?) (2)?的极大似然估计?2,并计算E(??的无偏估计?1;2解:(1) 由于X服从均匀分布,E(X)?令??2X.

因为E??2EX?2?? ,?2, E(X)??2

?2 故?的无偏估计为2X.

?,因而直接考虑按最大似然法的思想来确定?? (2) 由于无法从L?(?)?0得到最大似然估计? 欲使L(?)最大,?应尽量小但又不能太小,它必须满足??xii?1,2,3,n

{,2x,3 即 ??maxx1x,nx }xn}时,

否则L(?)?0,而0不可能是L(?)的最大值。因此,当??max{x1,x2,x3,47

??max{x,x,x,L(?)可达最大。?123??max{X,X,X,?123xn}即为?的最大似然估计值,

Xn}即为?的最大似然估计量

?(??1)x?3.设总体X的概率密度为f(x)???0解:因为 EX?0?x?1,其中???1是未知参数,X1,X2,其它,Xn为一个样本,试求参数?的矩估计量和最大似然估计量。

?10x?(??1)x?dx???1, ??2 用样本一阶原点矩作为总体一阶原点矩的估计,

即: X?EX?2X?1??1. , 得????21?X2X?1. 1?X? 故?的矩估计量为

n 设似然函数L(?)?(?1x)??ii?1(?)nl?n(?1,即lnL??)??i?1nixl nndlnL?()ndlnL(?)???lnxi,令?0, 则

d???1i?1d????1?得 ?Ln?lnxi?1n

i

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概率论与数理统计练习题

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第七章 参数估计(二)

一、选择题:

x1,x2,?已知, 1.设总体X服从正态分布X~N(?,?),其中?未知,

221n,xn为样本,x??xi,

ni?1则?的置信水平为0.95的置信区间是 [ D ] (A)(x?Z0.95?n,x?Z0.95?n) (B)(x?Z0.05?n,x?Z0.05?n)

(C)(x?Z0.975?n,x?Z0.9752?n) (D)(x?Z0.025?n,x?Z0.025?n)

2

2.设总体X~N(?,?),对参数?或?进行区间估计时,不能采用的样本函数有 [ D ]

n?X?X?X??X?? (A) (B) (C)??i? (D)Xn?X1

???/nS/ni?1?2二、填空题:

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1.设总体X的方差为(0.3),根据来自X的容量为5的简单随机样本,测得样本均值为21.8,则X的数学期望的置信度为0.95的置信区间为

(x?Z0.025三、计算题:

1.设冷抽铜丝的折断力服从正态分布X~N(?,?),从一批铜丝任取10根,测得折断力如下:578、572、570、568、572、570、570、596、584、572,求方差?的0.90的置信区间。

2

22?n,x?Z0.025=(21.54,22.06)

?n)(n?1)S2(n?1)S2解:?未知,求?置信水平为1??的置xm信区间为(2,).

??/2(n?1)?12??/2(n?1)2

,2?75.?73?, 这里n?10S2

22?0.1,?(9)?16.1?9,0.050.995 (9)3.325. 代入得?的置信区间为(40.284,204. 9

2.设自总体X~N(?,25)得到容量为10的样本,算的样本均值X?19.8,自总体Y~N(?,36)得到容量为10的样本,算的样本均值Y?24.0,两样本的总体相互独立,求?1??2的90%的置信区间。

解:?1,?2均已知,求?1??2置信水平为1??的置信区间为

22(X?Y?Z?2?12n1?2?2n2,X?Y?Z?2?12n1?2?2n2)

22这里n1?n2?10,X?19.8,Y?24.0,?1?25,?2?36,??0.1,Z0.05?1.645.

代入得?1??2的置信区间为(?8.2628,?0.1372).

3.某车间两条生产线生产同一种产品,产品的质量指标可以认为服从正态分布,现分别从两条生产线的产品中抽取容量为25和21的样本检测,算的修正方差分别是7.89和5.07,求产品质量指标方差比的95%的置信区间。

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