概率论与数理统计 - 同济大学第二版练习册答案 下载本文

当0?z?1时,fZ(z)??1z0dx?z

当1?z?2时,fZ(z)??dx?2?z

z?10?z?1?z? 所以,fZ(z)??2?z1?z?2

?0其他?

(2)当u??1时,FU(u)?0;当u?2时,FU(u)?1 当?1?u?0时,FU(u)??1udy?y?u20dx??1uy?u1dy?(1?2u?3u2); 24 当0?u?1时,FU(u)??10dy?1y?u20dx?2x?u1(1?2u); 4 当1?u?2时,FU(u)?1??dx?u20u2dy?u?

40u??1??1?(1?2u?3u2)?1?u?0?4??1(1?2u)0?u?1 即 U?2X?Y的分布函数为: FU(u)??4??u2u?1?u?2?4?1u?2?? 所以 U?2X?Y的概率密度函数为:

?13u?2?2?1??fU(u)?FU?(u)??2?u?1?2???0

?1?u?00?u?11?u?2其它

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?Ae?y?10?x?1 4.设X和Y相互独立,其概率密度函数分别为fX(x)??,fY(y)??其它?0?0y?0,y?0求:(1)常数A, (2)随机变量Z?X?Y的概率密度函数。 解:(1) 由于1?FY(??)????0Ae?ydy??Ae?y|??0?A,所以A = 1

(2) 随机变量Z?X?Y的概率密度函数

fZ?z???????fX?x?fY?z?x?dx (0?x?1,z?x?0)

当Z?0时,fZ?z??0 当0?z?1时,f)Z?z???z01?e?(z?xdx?e?z?zexdx?1?e?z0

当z?1时, f?1Z?z??e?(z?x)0dx?e?z?1exdx?e?z?10?e?z

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征(一)

一、选择题:

1.设随机变量X,且E(X)存在,则E(X)是 [ B (A)X的函数 (B)确定常数 (C)随机变量 (D)x的函数

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] x?1?9?e 2.设X的概率密度为f(x)??9?0?x?0x?0,则E(?1X)? [ C ] 9xx??11?? (A)?x?e9dx (B)??x?e9dx (C)?1 (D)1

9??9?? 3.设?是随机变量,E(?)存在,若?? (A)E(?) (B)二、填空题:

??23,则E(?)? [ D ]

E(?)E(?)2 (C)E(?)?2 (D)? 333 1.设随机变量X的可能取值为0,1,2,相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01,则E(X)? 0.5

(x?1)?1 2.设X为正态分布的随机变量,概率密度为f(x)?e8,则E(2X2?1)? 9

22?22 ? 3.设随机变量X的概率分布 X ? 1 0 1 2 ,则E(X?3X)? 116/15

P 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30

24.设随机变量X的密度函数为f(x)?1?|x|e(???x???),则E(X)? 0 2三、计算题:

1.袋中有5个乒乓球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,以X表示取出的3个球中最大编号,求E(X)

解:X的可能取值为3,4,5

2C32C41136P(X?3)?3?, P(X?4)?3? P(X?5)?3?

C510C510C510E(X)?3?

133?4??5??4.5 101052.设随机变量X的密度函数为f(x)???2(1?x)0?x?1,求E(X)

其它?0解:E(X)??x?2(1?x)dx?011 3

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3.设随机变量X~N(?,?2),求E(|X??|) 解:

?(x??)22??12?2??|x??|2??e?dx令y?x????2?2????|y|e?ydy

?y2?2???222?0yedy???

)???e?x 4.设随机变量X的密度函数为f(xx?0?0x?0,试求下列随机变量的数学期望。

(1) Y?2X1?e (2)Y2?max{X,2} (3)Y3?min{X,2}

解:(1)E(Y)????0e?2x?e?xdx?13 (2)E(Y??2?x??x2)02edx??2xe?dx

?2?2e?2?3e?2?2?e?2

(3)E(Y3)??2xe?xdx????022e?xdx

?1?3e?2?2e?2?1?e?2

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征(二)

一、选择题:

1.已知E(X)??1,D(X)?3,则E[3(X2?2)]? [ B (A)9 (B)6 (C)30 (D)36

2.设X~B(n,p),则有 [ D (A)E(2X?1)?2np (B)D(2X?1)?4np(1?p)?1 (C)E(2X?1)?4np?1 (D)D(2X?1)?4np(1?p)

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] ]

3.设?服从参数为?的泊松分布,??2??3,则 [ D ] (A)E(?)?2??3D(?)?2??3 (B)E(?)?2?D(?)?2?

(C)E(?)?2??3D(?)?4??3 (D)E(?)?2??3D(?)?4? 二、填空题:

1.设随机变量X的可能取值为0,1,2,相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01,则 D(X)? 0.45 2.设随机变量X的密度函数为f(x)?1?|x|e(???x???),则D(X)? 2 2D(X)? 1/3 2[E(X)] 3.随机变量X服从区间[0,2]上的均匀分布,则

4.设正态分布Y的密度函数是1?e?(y?3),则D(X)? 1/2

2三、计算题:

1.设随机变量X的可能取值为1,2,3,相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02,求:Y?2X?1的期望与方差;

解:E(X)?1?0.3?2?0.5?3?0.2?1.9

D(X)?E(X2)?(EX)2?1?0.3?4?0.5?9?0.2?(1.9)2?0.49

E(Y)?2E(X)?1?2.8 D(Y)?4D(X)?1.96

2.设随机变量X~N(0,1),试求E|x|、D|X|、E(X)与E(X)

34 解: E|X?|?????|x?|12??ex22d?x2???12?0e?x22 = sqrt(?/2) dx

E(X2)????x22???e?x22dx?????x2???de?x22??12?[xe?x22??????e?????x22dx] = 1

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