当0?z?1时，fZ(z)??1z0dx?z

当1?z?2时，fZ(z)??dx?2?z

z?10?z?1?z? 所以，fZ(z)??2?z1?z?2

?0其他?

（2）当u??1时，FU(u)?0；当u?2时，FU(u)?1 当?1?u?0时，FU(u)??1udy?y?u20dx??1uy?u1dy?(1?2u?3u2)； 24 当0?u?1时，FU(u)??10dy?1y?u20dx?2x?u1(1?2u)； 4 当1?u?2时，FU(u)?1??dx?u20u2dy?u?

40u??1??1?(1?2u?3u2)?1?u?0?4??1(1?2u)0?u?1 即 U?2X?Y的分布函数为： FU(u)??4??u2u?1?u?2?4?1u?2?? 所以 U?2X?Y的概率密度函数为：

?13u?2?2?1??fU(u)?FU?(u)??2?u?1?2???0

?1?u?00?u?11?u?2其它

31

?Ae?y?10?x?1 4．设X和Y相互独立，其概率密度函数分别为fX(x)??，fY(y)??其它?0?0y?0，y?0求：（1）常数A， （2）随机变量Z?X?Y的概率密度函数。 解：（1） 由于1?FY(??)????0Ae?ydy??Ae?y|??0?A，所以A = 1

（2） 随机变量Z?X?Y的概率密度函数

fZ?z???????fX?x?fY?z?x?dx （0?x?1,z?x?0）

当Z?0时，fZ?z??0 当0?z?1时，f)Z?z???z01?e?(z?xdx?e?z?zexdx?1?e?z0

当z?1时， f?1Z?z??e?(z?x)0dx?e?z?1exdx?e?z?10?e?z

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一）

一、选择题：

1．设随机变量X，且E(X)存在，则E(X)是 [ B （A）X的函数 （B）确定常数 （C）随机变量 （D）x的函数

32

] x?1?9?e 2．设X的概率密度为f(x)??9?0?x?0x?0，则E(?1X)? [ C ] 9xx??11?? （A）?x?e9dx （B）??x?e9dx （C）?1 （D）1

9??9?? 3．设?是随机变量，E(?)存在，若?? （A）E(?) （B）二、填空题：

??23，则E(?)? [ D ]

E(?)E(?)2 （C）E(?)?2 （D）? 333 1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则E(X)? 0.5

(x?1)?1 2．设X为正态分布的随机变量，概率密度为f(x)?e8，则E(2X2?1)? 9

22?22 ? 3．设随机变量X的概率分布 X ? 1 0 1 2 ，则E(X?3X)? 116/15

P 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30

24．设随机变量X的密度函数为f(x)?1?|x|e(???x???)，则E(X)? 0 2三、计算题：

1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中最大编号，求E(X)

解：X的可能取值为3，4，5

2C32C41136P(X?3)?3?， P(X?4)?3? P(X?5)?3?

C510C510C510E(X)?3?

133?4??5??4.5 101052．设随机变量X的密度函数为f(x)???2(1?x)0?x?1，求E(X)

其它?0解：E(X)??x?2(1?x)dx?011 3

33

3．设随机变量X~N(?,?2)，求E(|X??|) 解：

?(x??)22??12?2??|x??|2??e?dx令y?x????2?2????|y|e?ydy

?y2?2???222?0yedy???

)???e?x 4．设随机变量X的密度函数为f(xx?0?0x?0，试求下列随机变量的数学期望。

（1） Y?2X1?e （2）Y2?max{X,2} （3）Y3?min{X,2}

解：（1）E(Y)????0e?2x?e?xdx?13 （2）E(Y??2?x??x2)02edx??2xe?dx

?2?2e?2?3e?2?2?e?2

（3）E(Y3)??2xe?xdx????022e?xdx

?1?3e?2?2e?2?1?e?2

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（二）

一、选择题：

1．已知E(X)??1,D(X)?3，则E[3(X2?2)]? [ B （A）9 （B）6 （C）30 （D）36

2．设X~B(n,p)，则有 [ D （A）E(2X?1)?2np （B）D(2X?1)?4np(1?p)?1 （C）E(2X?1)?4np?1 （D）D(2X?1)?4np(1?p)

34

] ]

3．设?服从参数为?的泊松分布，??2??3，则 [ D ] （A）E(?)?2??3D(?)?2??3 （B）E(?)?2?D(?)?2?

（C）E(?)?2??3D(?)?4??3 （D）E(?)?2??3D(?)?4? 二、填空题：

1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 D(X)? 0.45 2．设随机变量X的密度函数为f(x)?1?|x|e(???x???)，则D(X)? 2 2D(X)? 1/3 2[E(X)] 3．随机变量X服从区间[0，2]上的均匀分布，则

4．设正态分布Y的密度函数是1?e?(y?3)，则D(X)? 1/2

2三、计算题：

1．设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求：Y?2X?1的期望与方差；

解：E(X)?1?0.3?2?0.5?3?0.2?1.9

D(X)?E(X2)?(EX)2?1?0.3?4?0.5?9?0.2?(1.9)2?0.49

E(Y)?2E(X)?1?2.8 D(Y)?4D(X)?1.96

2．设随机变量X~N(0,1)，试求E|x|、D|X|、E(X)与E(X)

34 解： E|X?|?????|x?|12??ex22d?x2???12?0e?x22 = sqrt(?/2) dx

E(X2)????x22???e?x22dx?????x2???de?x22??12?[xe?x22??????e?????x22dx] = 1

35