所以D|X|?E(|X|2)?(E|x|)2?E(X2)?1??/2?1

? E(X)?3????x32?x42?e??x22dx = 0

? E(X)?

4???ex22dx???x32?de?x22????3?x22?e?x22 = 3 dx??0?x?2?ax3?3．设随机变量X的分布密度为f(x)??bx?c2?x?4，已知E(X)?2,P(1?X?3)?，求：

4?0其它?（1）常数A，B，C的值； （2）方差D(X)； （3）随机变量Y?e的期望与方差。 解：（1）2?E(X)? ?X?20x?axdx??x(bx?c)dx

2456a32b34c248x|0?x|2?x|2?a?b?6c

33332856a?b?6c?2 333353 得 a?b?c? 4224得

P(1?X?3)??????f(x)dx?1 得 2a?6b?2c?1

所以 解得a?11,b??,c?1. 44(2)D(X)??????(x?2)2f(x)dx??20411x(x?2)2dx??(1?x)(x?2)2dx

244?2 3(3)E(Y)??????exf(x)dx??2041x11xedx??(1?x)exdx?(e2?1)2

244436

D(Y)?E(Y)?(E(Y))?122e(e?1)2 422122xef(x)dx?[(e?1)2]2 ???4???

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（三）

一、选择题：

1．对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?EX?EY，则 [ （A）D(XY)?D(X)D(Y) （B）D(X?Y)?D(X)?D(Y) （C）X与Y相互独立 （D）X与Y不相互独立

2．由D(X?Y)?D(X)?D(Y)即可断定 [ A ] （A）X与Y不相关 （B）F(x,y)?FX(x)?FY(y) （C）X与Y相互独立 （D）相关系数?XY??1 二、填空题：

1．设维随机变量(X,Y)服从N(0,0,1,1,0)，则D(2X?3Y)? 13 2．设X与Y独立，且D(X)?6，D(Y)?3，则D(2X?Y)? 27 三、计算题：

1． 已知二维随机变量(X,Y)的分布律如表： 试验证X与Y不相关，但X与Y不独立。 解：X的分布律为:

X ?1 0 1 P 0.375 0.25 0.375 Y的分布律为:

X ?1 0 1 P 0.375 0.25 0.375

37

C ]

X Y ?1 0 1 ?1 0.125 0.125 0125 0 0.125 0 0.125 1 0.125 0.125 0.125 E(X)?(?1)?0.375?0?0.25?1?0.375?0

E(Y)?(?1)?0.375?0?0.25?1?0.375?0

E(XY)?(?1)?(1)?01.25??(1)?0?0.125?(?1)?1? 0. ?0?1?(?1)?0.125?0?1?1?0.125 = 0

?xy?E(XY)?E(X)E(Y)?0 所以X与Y不相关。

P(X??≠1,Y??1)?0.125P(X??1)P(Y??1)?0.375?0.375 所以X与Y不相互独立。

2．设D(X)?25,D(Y)?36,?XY?0.4，求：D(X?Y),D(X?Y) 解：Cov(X,Y)??xy?D(X)D(Y)?0.4?5?6?12

D(X?Y)?D(X)?2Cov(X,Y)?D(Y)?85， D(X?Y)?D(X)?2Cov(X,Y)?D(Y)?37

3．设X~N(0,4),Y~U(0,4)，且X，Y相互独立，求：E(XY),D(X?Y),D(2X?3Y)

4244?0?，?xy?0 解：E(X)?0,D(X)?4， E(Y)??2，D(Y)?1232 E(XY)?0,

416?, 33D(X?Y)?D(X)?D(Y)?4?D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?16?12?28

?e?(y?5)?2x0?x?14．设X，Y相互独立，其密度函数分别为fX(x)??，fY(y)??0其它??0y?5，求y?538

E(XY)

2x312|0? 解：E(X)??x?2xdx?0331 E(Y)????5)??y?e?(y?5dy??ee5?y(y?15)?| 6E(XY)?E(X)E(Y)?

2?6?4 3概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第五章 大数定律与中心极限定理

一、选择题：

1．设?n是n次重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意的??0均有limP{n???nn?p??} [ A ]

（A）?0 （B）?1 （C）?0 （D）不存在

2．设随机变量X，若E(X)?1.1,D(X)?0.1，则一定有 [ B ] （A）P{?1?X?1}?0.9 （B）P{0?X?2}?0.9 （C）P{|X?1|?1}?0.9 （D）P{|X}?1}?0.1 3．X1,X2,2,X1000是同分布相互独立的随机变量，Xi~B(1,p)，则下列不正确的是 [ D ]

100011000b?1000pa?1000pX?p （A） （B）P{a?X?b}??()??() ?i?i1000i?11000pq1000pqi?110001000i?1 （C）

?Xi?1i~B(1000,p) （D）P{a??Xi?b}??(b)??(a)

二、填空题：

1．对于随机变量X，仅知其E(X)?3,D(X)?2241. ，则可知P{|X?3|?3}? 22525 2．设随机变量X和Y的数学期望分别为?2和2，方差分别为1和4，而相关系数为?0.5，则

39

根据契比雪夫不等式PX?Y?6? 三、计算题：

??1. 12 1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？

解：设第i件零件的重量为随机变量Xi，根据题意得EXi?0.5,DX?0.1.

5000 E(?X)?5000?0.5?2500,D(?X)?5000?0.01?50.

iii?1i?150005000P(?Xi?2510)?P(i?1

i?15000?Xi?250050?10)50?1??(2)?1?0.9207?0.0793.

2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在

(?0.5,0.5)上服从均匀分布。

（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？ 解：（1）XU(?0.5,0.5),E(?Xi)?0,D(?Xi)?1500?i?1i?1150015001?125. 1215001500 P(|?Xi|?15)?P(i?1?Xi?1i125n?1535)?2[1??()]?2[1??(1.3)]?0.18.

5125 （2）P(|?Xi?1ni|?10)?P(|?Xi|i?1n12?1010)?0.90??()?0.95. nn1212 根据?的单调性得10102?1.645，故n?12?()?443.4.

1.645n1240