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数值计算方法试题一

一、 填空题（每空1分，共17分）

1、如果用二分法求方程x3?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

22、迭代格式xk?1?xk??(xk?2)局部收敛的充分条件是?取值在（ ）。

?x30?x?1?S(x)??132(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c1?x?3?2?3、已知是三次样条函数，

则

a=( )，b=（ ），c=（ ）。

l0(x),l1(x),?,ln(x)是以整数点x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函4、数，则

?lk?0nk?0nk(x)?4k( )，

?xlk?0nkj(xk)?( )，当n?2时

?(x2?xk?3)lk(x)?( )。

7425、设f(x)?6x?2x?3x?1和节点xk?k/2,k?0,1,2,?,则f[x0,x1,?,xn]? 7?和f0? 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

??k(x)?k?0是区间[0,1]上权函数?(x)?x的最高项系数为1的正交多项7、

?式族，其中?0(x)?1，则?0x?4(x)dx? 。

?x1?ax2?b1?8、给定方程组??ax1?x2?b2，a为实数，当a满足 ，且0???2时，SOR迭代法收敛。

19、解初值问题

?y??f(x,y)??y(x0)?y0的改进欧拉法

[0]?yn?1?yn?hf(xn,yn)?h?[0]y?y?[f(x,y)?f(x,yn?1nnnn?1n?1)]?2?是

阶方法。

?10a??A??01a????aa1??，当a?（ ）时，必有分解式A?LLT，10、设

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其中L为下三角阵，当其对角线元素lii(i?1,2,3)满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、 二、选择题（每题2分）

(k?1)?Bx(k)?g收敛的充要条件是1、解方程组Ax?b的简单迭代格式x（ ）。

（1）?(A)?1, (2) ?(B)?1, (3) ?(A)?1, (4) ?(B)?1

?2、在牛顿-柯特斯求积公式：

baf(x)dx?(b?a)?Ci(n)f(xi)i?0n(n)Ci中，当系数

是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）

时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1）n?8， （2）n?7， （3）n?10， （4）n?6， 3、有下列数表 x f(x) 0 -2 0.5 -1.75 1 -1 1.5 0.25 2 2 2.5 4.25 所确定的插值多项式的次数是（ ）。 （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 4、若用二阶中点公式

y???2y,y(0)?1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（ ）。

(1)0?h?2, (2)0?h?2, (3)0?h?2, (4)0?h?2

三、1、（8分）用最小二乘法求形如y?a?bx的经验公式拟合以下数据：

xi yi 2yn?1?yn?hf(xn?hh,yn?f(xn,yn))24求解初值问题

19 19.0 25 32.3 30 49.0 38 73.3 12、（15分）用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算?0时，

(1) (1) 试用余项估计其误差。

（2）用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程x3?x?1?0在x?1.5附近有根，把方程写成三种

3不同的等价形式（1）x?3x?1对应迭代格式xn?1?xn?1；(2)

e?xdxx?1?1x 专业知识分享

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对应迭代格式

xn?1?1?133xn；x?xx?x?1（3）对应迭代格式n?1n?1。判

断迭代格式在x0?1.5的收敛性，选一种收敛格式计算x?1.5附近的根，

精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组AX?f，其中

?43??24?

??30?A??34?1f?????

????14??，??24??

（1） （1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2） （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。

?dy???y?1?dx?y(0)?1用改进的欧五、1、（15分）取步长h?0.1，求解初值问题?拉法求y(0.1)的值；用经典的四阶龙格—库塔法求y(0.1)的值。

2、（8分）求一次数不高于4次的多项式p(x)使它满足

p(x0)?f(x0),p(x1)?f(x1),p?(x0)?f?(x0),p?(x1)?f?(x1),p(x2)?f(x2)

六、（下列2题任选一题，4分） 1、 1、 数值积分公式形如

（1） （1） 试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；（2）设f(x)?C[0,1]，推导余项公式

误差。

2、 用二步法

4?xf(x)dx?S(x)?Af(0)?Bf(1)?Cf?(0)?Df?(1)

01R(x)??xf(x)dx?S(x)01，并估计

2、

yn?1??0yn??1yn?1?h[?f(xn,yn)?(1??)f(xn?1,yn?1)]

?y??f(x,y)?求解常微分方程的初值问题?y(x0)?y0时，如何选择参数?0,?1,?使方

法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。

数值计算方法试题二

一、判断题：（共16分，每小题２分）

１、若A是n?n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵

U，使A?LU唯一成立。 （ ）

２、当n?8时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。

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