考点测试17 定积分与微积分基本定理
一、基础小题
1．下列积分的值等于1的是( ) A．?1xdx
B．?1(x＋1)dx
?0?0
?0
C．?1dx 答案 C
1D．?1dx ?2
0
?
解析 ?1dx＝x?
?0?0
1
＝1.
1??2.若?a?2x＋?dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是( )
?1?
x?
A．2 C．4 答案 A
1???2
解析 ??2x＋?dx＝(x＋ln x) ?x??1?1?
aaB．3 D．6
＝a＋ln a－1＝3＋ln 2，即a＝2.
2
3.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )
A.2π 532
4B． 3πD．
2
C. 答案 B
解析 根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a<0)．因为f(x)的图象过(0,1)点，所以－a＝1，即a＝－1.所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x.所以S＝?1 (1－x)dx＝2?1(1
2
2
?-1?0
?13??2
－x)dx＝2?x－x??
?3??0
??x4．设f(x)＝?x??2
2
1
xx?1?4
＝2?1－?＝. ?3?3
，，
则?1－1f(x)dx等于( )
?
A．?1xdx
2
?-1?-1
B．?12dx
x?-1?-1
C．?0xdx＋?12dx
2x?0
D．?02dx＋?1xdx
x2
?0
答案 D
??x解析 ∵f(x)＝?x?2?
x2
xx2
，，
∴?1f(x)dx＝?02dx＋?1xdx.
?-1?-1?0
5．设f(x)是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间[－a，a]上的定积分为?af(x)dx，
?-a由定积分的几何意义和性质，得?af(x)dx可表示为( )
?-aA．－?af(x)dx
?-aB．2?0f(x)dx
?-a1
C．?af(x)dx 2?
0
D．?0f(x)dx
?-a答案 B
解析 偶函数的图象关于y轴对称， 故?af(x)dx对应的几何区域关于y轴对称，
?-a因而其可表示为2?0f(x)dx，应选B.
?-a2
6．设函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，若?3f(x)dx＝3f(x0)，则x0等于( )
?0
A．±1
C．±3 答案 C
B．2 D．2
3
?13??2
解析 ?3f(x)dx＝?3(ax＋b)dx＝?ax＋bx??
?3??0??
0
0
＝9a＋3b，∴9a＋3b＝3(ax0＋b)，即
2
x20＝3，x0＝±3，故选C.
7．给出如下命题：
①?adx＝?bdt＝b－a(a、b为常数，且a ?b?a②?0 ?-1?-aπ22 1－xdx＝?11－xdx＝； 4? 0 ③?af(x)dx＝2?af(x)dx(a>0)． ?0 其中正确命题的个数为( ) A．0 C．2 答案 B B．1 D．3 2 解析 由于?adx＝a－b，?bdt＝b－a，所以①错误；由定积分的几何意义知，?0 ?b?a?-1 1－x1π2dx和?11－xdx都表示半径为1的圆的面积，所以都等于，所以②正确；只有当函数f(x) 44? 0 为偶函数时，才有?af(x)dx＝2?af(x)dx，所以③错误，故选B. ?-a2 ?0 8．由曲线y＝x＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为( ) 1 A． 65C． 6答案 A 解析 1B． 32D． 3