学科：奥数

教学内容：第16讲 还原问题

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有这样一类数学问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是当我们改变思考的顺序，以问题叙述的终点为起点，一步一步从后向前思考，往回算的过程中按照加减互为逆运算，乘除互为逆运算改变原有的运算，这样问题就容易解决了。这种解题的方法叫做还原法或逆推法。用这样的方法解决的问题是还原问题。

互逆的运算是求解还原问题的知识基础。 （1）某数加上2得8，求某数。 由题意：某数+2=8

由减法是加法的逆运算：某数=8－2=6 （2）某数减去2得10，求某数。 由题意：某数－2=10

由加法是减法的逆运算：某数=10+2=12 （3）某数乘以5得45，求某数。 由题意：某数×5=45

由除法是乘法的逆运算：某数=45÷5=9 （4）某数除以6得8，求某数。 由题意：某数÷6=8

由乘法是除法的逆运算：某数=8×6=48

重点·难点

还原法要从最后一个已知条件出发，一步一步还原，求得结果。原题加，倒推为减；原题减，倒推为加；原题乘，倒推为除；原题除，倒推为乘。解题时通常先顺着题意列出算式，再列出与之对应逆向的算式，即可找到解题的出路。

学法指导

应用还原法解题时要注意是否满足以下条件：已知的是最后的结果和在到达最终结果时每一步的具体过程或具体做法，未知的是最初的情况。

经典例题

［例1］有一根绳子，第一次用去3米，又用去余下的三分之一；第二次用去4米，又用去余下的一半。最后还剩4米，求绳子原有多长？

思路剖析

1不妨将绳子的使用情况由两次分为四步完成，第一步用去3米，第二步用去余下的3，

第三步用去4米，第四步用去余下的一半，最后的结果是剩4米。那么在第四步之前没用余下的一半时，有绳长4×2=8（米），第三步之前没用4米时，应有绳长8+4=12（米），12米

121是第二步用完余下的3所剩的，因此12米应是余下绳子的3，那么在第二步用去余下的32之前应有绳长12÷3=18（米），那么在第一步用去3米之前原来的绳长可求。

也可将整个过程按顺序列成如下的算式：

11?(1?)?4]??432[（□－3）

再按照逆推的方法求得□的值。

解答

1(4?2?4)?(1?)?33绳长为：

2=12÷3+3

=18+3 =21（米）

答：绳子原长21米。 点津

此题可以按从后向前的顺序一步一步求得结论，也可将这一步一步逆推的过程列成综合的算式求解。

[例2]甲、乙、丙三人各有图书若干，开始时甲先拿出自己藏书的一部分分给乙、丙，使他们的图书数增加了1倍；然后乙也这样做了一次，使甲、丙的图书数增加了1倍；最后丙也这样做了一次，使甲、乙的图书数增加了1倍。这时三人的藏书数都是32本。甲、乙、丙三人原来各有多少图书？

思路剖析

由于已知三人的最后藏书都为32本，第三次以后甲、乙的图书数都增加了1倍，所以甲、乙原来各有32÷2=16（本），而丙有32+16+16=64（本），第二次以后甲、丙的图书数都增加了1倍，所以甲有16÷2=8（本），丙有64÷2=32（本），而乙有16+8+32=56（本），第一次以后乙、丙都增加了1倍，则乙有56÷2=28（本），丙有32÷2=16（本），而甲有8+28+16=52（本）。以上这个还原的过程还可以用图表的方式表达出来会使题意更明晰。

解答

第三次分书后 第二次后 第一次后 原有

??16????8???????52 甲32????16???????56????28 乙32????64????32????16 丙32?????答：甲、乙、丙原有图书依次为52本、28本、16本。 点津

由于在此三次分书的过程中三人同时参与，因此不可能单考虑一个人的情况，要从整体上同时考虑每次分书后三人的藏书情况。

［例3］桌上有200个棋子，两个人轮流从棋子中取走1个、2个、3个或4个。取走最后一个棋子的人输，应怎样取，才能保证获胜？

思路剖析

要想获胜，最后一定只留一个棋子给对方。由于每次取棋子的数目最多是4个，最少是1个，所以当取完棋子之后，应该给对方留下6个棋子，此时无论对方取几个，只要使自己拿的棋子数与对方拿的棋子数的和为5，就可以使只给对方留一个棋子的情况出现。依据这

32?16?16?2?2?216?8?32?2?2?28?28?16样的道理，再往前一轮取完棋子之后应给对方剩下6+5=11（个）棋子。再继续向前推一轮则该剩下11+5=16（个）棋子。由此可知，每次取完棋子只要给对方剩下5的倍数加1个就可以获胜。要保证在后面取棋子的过程中，使自己取走的棋子数与对方的和为5，这样才能保证每次剩下的棋子数是5的倍数加1个。而200恰为5的倍数，那么想获胜的人必须保证在第一次取完之后剩下的数是5的倍数加1。而与200最接近的满足条件的数是196=5×39+1，因此第一次取后应剩下196个棋子才可能获胜。

解答

保证可以获胜的取法为：

（l）第一次先取走4个棋子。

（2）以后每次所取的棋子数要与对方取的棋子数的和为5。

[例4]已知A、B、C、D四个数，它们的和是80，A的5倍、B减去1、C加上5、D的一半都相等。求A、B、C、D这四个数各是多少？

思路剖析

要求四个数各为多少，就要利用和为80这个条件。所以首先要从其他条件中得出这四个数之间的关系。由于“A的5倍、B减去1、C加上5、D的一半都相等”。可知B为A的5倍加1，C为A的5倍减5，D为A的5×2=10倍。即B=5A+1，C=5A－5，D=10A。那么这四个数的和为A的21倍减去4，此和为80，那么A的21倍为80+4=84。A可求，那么其他数可知。

解答 数A：（80－1+5）÷（1+5+5+10） =84÷21 =4

B：4×5+1=21 C：4×5－5=15 D：4×5×2=40

答A、B、C、D这四个数各是4、21、15、40。 点津

此题的关键是以一个数为标准数，找到四个数之间的关系，在此题中我们是以A的5倍为标准数，相比较而言，选择A的5倍较简单。

[例5]瓜地里来了一群猴子，第一次吃去了西瓜总数的一半又半个；第二次又吃掉剩下西瓜的一半又半个；第三次又来吃掉剩下西瓜的一半又半个；第四次吃掉剩下西瓜数的一半。这时瓜地里还有50个西瓜。那么原来瓜地里有多少个西瓜？

思路剖析

第四次没吃时应有西瓜50×2=100（个）；第三次吃掉剩下的西瓜的一半时应有西瓜100+0.5=100.5（个），那么第三次没吃时有瓜：100.5×2=201（个）；第二次吃掉剩下的西瓜的一半时应有瓜：201+0.5=201.5（个），那么第二次没吃时有西瓜：201.5×2=403（个）。依次可求得第一次没吃时西瓜的个数，即原来瓜地里有多少个西瓜。

解答

第四次来吃之前瓜数：50×2=100（个） 第三次来吃之前瓜数：（100+0.5）×2=201（个） 第二次来吃之前瓜数：（201+0.5）×2=403（个） 第一次来吃之前瓜数：（403+0.5）×2=807（个） 答：瓜地里原来有807个西瓜。 点津

虽然题中出现了半个西瓜的情况，但实际上这群猴子哪一次吃瓜也没有出现吃半个瓜的