18.已知正三角形1)．将

的边长为3，折起到

分别是

平面

边上的点，满足

，连接

(如图2)．

(如图

的位置，使平面

(1)求证：(2)求二面角

平面 ； 的余弦值．

【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】 （1）在图中，取

的中点，连接，证明平面

是等边三角形，由此证得.（2）以为原点，以向量

，即在图中有的方向为

，轴的

根据面面垂直的性质定理可证得

正方向建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和的法向量，计算二面角的余弦值.

【详解】解：（1）在图1中，取BE的中点D，连结DF． ∵∴而又

即在图2中，∵平面

平面

平面. . ，∴，∴

， ，平面

平面

，

是正三角形．

，

（2）由（1）知，即以E为原点，以向量

平面，的方向为

．

轴的正方向建立如图所示的坐标系，

则.

.

设由取由取所以

，得，得

，得

，

，得

分别是平面

，

，

，

和平面的法向量，

.

因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.

19.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示： 下周一 下周二 收益

若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元，有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．

(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．

无雨 无雨 20万元 无雨 有雨 15万元 有雨 无雨 10万元 有雨 有雨 7.5万元

【答案】(1)分布列见解析，14.4万元. (2)当额外聘请工人的成本高于

万元时，不外聘工人：成本低于

万元时，外聘工人：成本恰为

万元时，

是否外聘工人均可以.理由见解析. 【解析】

分析：（Ⅰ）根据基地收益为

万元的概率为

，即基地无雨的概率为0.36，可求出周一无雨的概率为

；根据独立性事件的概率，可求出另外几种情况下的概率。列出基地收益分布列，即可根据公式求期望来表示其预期收益。

（Ⅱ）周一采摘完的预期收益为

。这时讨论的情况确定是否外聘工人。 详解：（Ⅰ）设下周一无雨的概率为，由题意，基地收益的可能取值为

.

∴基地收益的分布列为：

∴基地的预期收益为

万元.

，

，

，

，

，则

，

，

，

，

，

。所以和两天采摘相比，收益高出来了

（Ⅱ）设基地额外聘请工人时的收益为万元， 则其预期收益

，

综上，当额外聘请工人的成本高于时，是否外聘工人均可以.

点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的求法。主要理解题意，正确判断无雨的概率，进而能够求出在各种情况下的概率，求出其分布列，属于简单题。 20.已知抛物线(1)若

上在第一象限内的点H(1，t)到焦点F的距离为2．

的值；

(其中O为坐标原点)．

万元时，不外聘工人：成本低于

万元时，外聘工人：成本恰为

万元

（万元），

，过点M，H的直线与该抛物线相交于另一点N，求

(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；

②过点Q作AB的垂线与该抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值． 【答案】(1) 【解析】 【分析】

（1）根据点的坐标和抛物线的定义，求得的值，进而求得抛物线的方程以及点的坐标，由此求得直线的方程，联立直线出直线

的方程和抛物线的方程，求得点的横坐标，利用抛物线的定义求得

的值.（2）①设

，由此证

(2) ①见证明； ②最小值88

的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算，化简

,由此求得四边形

得直线过定点. ②利用①的结论求得调性来求得四边形【详解】解：（1）∵点故抛物线E的方程为：所以当∴直线

时

，

，联立.

（2）①证明：设直线联立抛物线方程可得

，

由即②由①得同理得，

得：

，所以直线

，解得过定点，，

面积的最小值.

，∴，

面积的表达式，换元后利用二次函数的单

，解得，

的方程为可得，，

，

或；

.

（舍去），

则四边形面积

.

令故当

时，

，则.当且仅当

是关于的增函数，

时取到最小值88.