山东省日照市2019届高三1月校际联考数学(理)试卷附答案解析 下载本文

18.已知正三角形1).将

的边长为3,折起到

分别是

平面

边上的点,满足

,连接

(如图2).

(如图

的位置,使平面

(1)求证:(2)求二面角

平面 ; 的余弦值.

【答案】(1)见证明;(2) 【解析】 【分析】 (1)在图中,取

的中点,连接,证明平面

是等边三角形,由此证得.(2)以为原点,以向量

,即在图中有的方向为

,轴的

根据面面垂直的性质定理可证得

正方向建立空间直角坐标系,利用平面的法向量和的法向量,计算二面角的余弦值.

【详解】解:(1)在图1中,取BE的中点D,连结DF. ∵∴而又

即在图2中,∵平面

平面

平面. . ,∴,∴

, ,平面

平面

是正三角形.

(2)由(1)知,即以E为原点,以向量

平面,的方向为

轴的正方向建立如图所示的坐标系,

则.

.

设由取由取所以

,得,得

,得

,得

分别是平面

和平面的法向量,

.

因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.

【点睛】本小题主要考查折叠问题,考查线面垂直的证明,考查利用空间向量法求二面角的余弦值,属于中档题.

19.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示: 下周一 下周二 收益

若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元,有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.

(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益; (2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由.

无雨 无雨 20万元 无雨 有雨 15万元 有雨 无雨 10万元 有雨 有雨 7.5万元

【答案】(1)分布列见解析,14.4万元. (2)当额外聘请工人的成本高于

万元时,不外聘工人:成本低于

万元时,外聘工人:成本恰为

万元时,

是否外聘工人均可以.理由见解析. 【解析】

分析:(Ⅰ)根据基地收益为

万元的概率为

,即基地无雨的概率为0.36,可求出周一无雨的概率为

;根据独立性事件的概率,可求出另外几种情况下的概率。列出基地收益分布列,即可根据公式求期望来表示其预期收益。

(Ⅱ)周一采摘完的预期收益为

。这时讨论的情况确定是否外聘工人。 详解:(Ⅰ)设下周一无雨的概率为,由题意,基地收益的可能取值为

.

∴基地收益的分布列为:

∴基地的预期收益为

万元.

,则

。所以和两天采摘相比,收益高出来了

(Ⅱ)设基地额外聘请工人时的收益为万元, 则其预期收益

综上,当额外聘请工人的成本高于时,是否外聘工人均可以.

点睛:本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的求法。主要理解题意,正确判断无雨的概率,进而能够求出在各种情况下的概率,求出其分布列,属于简单题。 20.已知抛物线(1)若

上在第一象限内的点H(1,t)到焦点F的距离为2.

的值;

(其中O为坐标原点).

万元时,不外聘工人:成本低于

万元时,外聘工人:成本恰为

万元

(万元),

,过点M,H的直线与该抛物线相交于另一点N,求

(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且①求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的坐标;

②过点Q作AB的垂线与该抛物线交于G、D两点,求四边形AGBD面积的最小值. 【答案】(1) 【解析】 【分析】

(1)根据点的坐标和抛物线的定义,求得的值,进而求得抛物线的方程以及点的坐标,由此求得直线的方程,联立直线出直线

的方程和抛物线的方程,求得点的横坐标,利用抛物线的定义求得

的值.(2)①设

,由此证

(2) ①见证明; ②最小值88

的方程,与抛物线方程联立,写出韦达定理,利用向量数量积的坐标运算,化简

,由此求得四边形

得直线过定点. ②利用①的结论求得调性来求得四边形【详解】解:(1)∵点故抛物线E的方程为:所以当∴直线

,联立.

(2)①证明:设直线联立抛物线方程可得

由即②由①得同理得,

得:

,所以直线

,解得过定点,,

面积的最小值.

,∴,

面积的表达式,换元后利用二次函数的单

,解得,

的方程为可得,,

或;

.

(舍去),

则四边形面积

.

令故当

时,

,则.当且仅当

是关于的增函数,

时取到最小值88.