泛函分析知识总结与举例、应用

学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、 度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间

度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间Rn（有限维空间）的推

广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d(x,y)

与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （非负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）

3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）

则称d(x,y)是x、y之间的度量或距离（matric或distance），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space)。 （这个定义是证明度量空间常用的方法）

注意:⑴ 定义在X中任意两个元素x，y确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称

为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X和度量函数d所组成，在同一个集合X上若有两个不同的度量函数d1和d2，则我们认为(X, d1)和(X, d2)是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x?X，则称为“X中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d，而称“度量空间X” 。

举例

离散的度量空间：设X是任意的非空集合，对X中任意两点x,y∈X，令

?1，当x?y，则称（X，d）为离散度量空间。 d?x，y?=??0，当x=y1?i??i 序列空间S：S表示实数列（或复数列）的全体，d(x,y)＝?i；

21????i?1ii? 有界函数空间B(A)：A是给定的集合，B(A)表示A上有界实值（或复值）函数全体，对

B(A)中任意两点x,y，定义d(x,y)＝supx(t)?y(t)

t?A 可测函数空间M(X)：M(X)为X上实值（或复值）的L可测函数全体。

d(f,g)=?f(t)?g(t)1?f(t)?g(t)xdt

C[a,b]空间（重要的度量空间）：C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，

对C[a,b]中任意两点x,y，定义 d(x,y)＝maxx(t)?y(t)

a?t?b

l2：无限维空间（重要的度量空间）

★ 例、是考试中常考的度量空间。

2．度量空间中的极限，稠密集，可分空间

x0的?—领域：设（X，d）为度量空间，d是距离，定义

U?(x0,?)??x?X∣d(x,x0）＜??为x0的以?为半径的开球，亦称

为x0的?—领域。

注：通过这个定义我们可以从点集这一章学到的知识来定义距离空间中一个点集的内点，外

点，边界点及聚点，导集，闭包，开集等概念。

度量空间的收敛点列：设(X，d)是一个度量空间，?xn?是（X，d）中点列,如果存在x?X，

xn?x，即d(xn,x)?0(n??)，称点?xn?收敛于x，使limn??列?xn?是（X，d）中的收敛点列，x叫做点列?xn?的极限，且收敛点列的极限是唯一的。

注：度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。

有界集：设M是度量空间（X，d）中的点集，定义?(M)?supd(x,y)为点集M的直径。

x,y?M若?(M)＜?，则称M为（X，d）中的有界集。

（类似于Rn，我们可以证明一个度量空间中收敛点列是有界点集）

闭集：A是闭集?A中任意收敛点列的极限都在A中，即若xn?A，n=1,2，....xn?x,

则x?A。（要会证明）

举例

n n维欧氏空间R中，点列依距离收敛d(xk,x)?0?依分量收敛。

C[a,b]空间中，点列依距离收敛d(xk,x)?0?依分量一致收敛。 序列空间S中，点列依坐标收敛。

可测函数空间M(X)：函数列依测度收敛于f，即 d(fn,f)?0?fn?f。 稠密子集和可分度量空间

有理数集在实数集中的稠密性，它属于实数集中，现把稠密性推广到一般的度量空间中。 定义：设 X是度量空间，E和M是X的两个子集，令M表示M的闭包，如果E?M，则称

集M在集E中稠密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X为可分空间。

注：可分空间与稠密集的关系：由可分空间定义知，在可分空间X中一定有稠密的可数集。

这时必有X中的有限个或可数个点在X中稠密。

举例

①n维欧式空间R是可分空间：坐标为有理数的全体是R的可数稠密子集。 ②离散度量空间X可分?X是可数集。

（因为X中无稠密真子集，X中唯一的稠密只有X本身） ③l是不可分空间。

数学知识间都有联系，现根据直线上函数连续性的定义，引进了度量空间中映射连续性的概念。 3. 连续映射

定义：设X=（X，d） Y=（Y，d）是两个度量空间，T是X到Y中的映射x0?X，如果对?~?nnε>0，?δ>0 ，使对X中一切满足d（x，x0）<δ的x，有d(Tx,Tx0)＜?，则称T在x0连续。

（度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间 ） Y?R时，映射就是度量空间上的函数。

注：对于连续可以用定义证明，也可以用邻域的方法证明。下面用邻域描述：对Tx0的ε-邻域U，存在x0的某个δ—邻域V，使TV?U，其中TV表示V在映射T作用下的像。 定理1：设T是度量空间（X，d）到度量空间（Y，d）中映射，

T在x0?X连续?当xn?x0(n??)时，必有Txn?Tx0(n??)。

在映射中我们知道像与原像的概念，下面对原像给出定义。

原像的定义：映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射，称集合{x∣x∈X，

Tx?M?Y}为集合M在映射T下的原像，简记为T?1M。

★可见，对于度量空间中的连续映射可以用定理来证明，也可以用原像的定义来证明。 定理2：度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射?Y中任意开集M的原像T?1M是X中

的开集（除此之外，利用T（M的补集）=（TM）的补集，可将定理中开集改成闭集，定理也成立。）注：像开原像开，像闭原像闭，映射连续。

在数学分析中有学过收敛点列，柯西点列，但研究都在R中。现在我们可类似的给出度量空间中柯西点列的概念。

4. 柯西（Cauchy）点列和完备的度量空间。

柯西点列的定义 ：设X=（X，d）是度量空间，{xn}是X中的点列，对?ε>0，?正整数

N=N（ε），使当ｎ，ｍ>N时，必有ｄ（xn，xm）<ε，则称{xn}是X中的柯西（Cauchy）点列或基本点列。【会判断：柯西点列是有界点列】

我们知道实数集的完备性，同时在学习数列收敛时，数列收敛的充要条件是数列是Cauchy列，这由实数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。但在度量空间中的确存在完备的度量空间。

?1~~?1完备的度量空间的定义：如果度量空间（X，d）中每一个柯西点列都在（X，d）中收敛，那

么称（X，d）是完备的度量空间．

★但要注意，在定义中要求X中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点。 举例（记住结论）

有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但n维欧式空间Rn是完备的度量空间。 在一般度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯西点

?l也是完备的度量空间。 列：C、C[a,b]、

定理 完备度量空间X的子空间M，是完备空间?M是X中的闭子空间。

P［ａ，ｂ］（表示闭区间［ａ，ｂ］上实系数多项式全体，作为C［ａ，ｂ］的子空间）是不完备的度量空间．

5. 度量空间的完备化。

等距映射：设（X，d），是两个度量空间，T是从X到X上的映射，即对（X,d）~~~?x,y?X,d(Tx,Ty)=d(x,y),则称T是等距映射。

（X,d）定义：设（X，d），是两个度量空间，如果存在一个从X到X上的等距映射T，则

（X,d）称（X，d）和等距同构，此时T称为X到X上的等距同构映射。（像的距离等于原像的距离）

注：在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一的。

定理1（度量空间的完备化定理）：设X=（X，d）是度量空间，那么一定存在完备度量空间

~~~~~~~X=（X,d），使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构下?）也是一个完备的度量空间，且X与X?，d?的某个稠密子是唯一的,即若（X~~~~~?）等距同构。(不需要掌握证明但是要记?，d（X,d）空间等距同构，则与（X住结论)

~~定理1的改述：设X=（X，d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X=（X,d），

使X为X的稠密子空间。

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