6. 压缩映射原理及其应用（重点内容，要求掌握并会证明）
学习完备度量空间概念，就需要应用，而压缩映像原理是求解代数方程、微分方程、积分方程，以及数值分析中迭代算法收敛性很好的工具，另外要学会如何求不动点。
压缩映射定义：X是度量空间，T是X到X的映射，如果存在一个数α，??，使 （0,1）对? x，y ?X，d（Tx，Ty）≦αd（x，y） 则称T为压缩映射。
（压缩映射定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且仅有一个
不动点（即方程Tx=x，有且只有一个解）。
（x是T的不动点?x是方程Tx=x的解）
这个定理对代数方程、微分方程、积分方程、数值分析的解的存在性和唯一性的证明中起重要作用。
压缩映射原理的应用：在众多情况下，求解各种方程的问题可以转化为求其某一映射的不动点，现在以大家熟悉的一阶常微分方程
dy?f(x,y) （1） dx为例来说明这一点。求微分方程（1）满足初始条件y(x0)?y0的解与求积分方程
xy(x)?y0??f(x,y(t))dt （2）
x0等价。我们做映射
xTy(x)?y0??f(x,y(t))dt
x0则方程（2）的解就转化为求y，使之满足Ty?y。也就是求这样的y，它经映射作用后仍变为y。因此，求解方程（1）就变为求映射T的不动点，这种求解方程变为求解映射的不动点的做法在数学中是常用的。那么如何求解映射的不动点呢在R中求方程解的逐次逼近法给了我们启示。
这种迭代原理是解决映射不动点问题最基本的方法。在解决上述问题中，看到实数完备性的重要作用。
代数方程、微分方程、积分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一个一般原理，即压缩映射原理，压缩映射原理就是某一类映射不动点存在性和惟一性问题，不
动点可以通过迭代序列求出。
注：（1）从定理的证明过程中发现，迭代序列的初始值可任意选取，最终都能收敛到惟一不动点。
（2）该定理提供了近似计算不动点的误差估计公式，即
an?(x?,xn)??(Tx0,x0)
1?a因为完备度量空间的任何子集在原有度量下仍然是完备的，所以定理中的压缩映射不需要在整个空间X上有定义，只要在某个闭集上有定义，且像也在该闭集内，定理的结论依然成立。
在实际应用过程中，有时T本身未必是压缩映射，但T的若干次复合Tn是压缩映射，这时T仍然有惟一不动点，下面是压缩映射原理的应用及相关证明。
例1 线性代数方程Ax?b均可写成如下形式
x?Cx?D （3）
T其中C?(cij)n?n,D?(d1,d2,?,dn)。如果矩阵C满足条件
?cj?1nij?1(i?1,2,?,n)
则式（3）存在惟一解，且此解可由迭代求得。
证明：取X?R，定义度量为
n?(?,?)?maxai?bi
1?i?n??(a1,a2,?,an)T,??(b1,b2,?,bn)T
构造映射T:X?X为Tx?Cx?D，那么方程（3）的解等价于映射T的不动点。
TT对于x?(x1,x2,?,xn),y?(y1,y2,?,yn)，由于
?(Tx,Ty)?max?(cijxj?dj)??(cijyj?dj)
1?i?nj?1j?1nn ?max1?i?nn?cj?1nij(xj?yj)?max?cij?(x,y)
1?i?nj?1n记a?max1?i?n?cj?1ij，由条件a?1，因此T是压缩映像，于是T有惟一不动点，所以方程（3）
有惟一解，且此解可由如下迭代序列
x(k)?Cx(k?1)?D
近似计算求得。
例2 考察如下常微分方程的初值问题
?dy??f(x,y) ?dx （4）
??y(x0)?y0如果f(x,y)在R2上连续，且关于第二元y满足Lipschitz条件，即
f(x,y1)?f(x,y2)?Ky1?y2
这里K?0是常数，则方程（4）在[x0??,x0??]上有惟一解(??证明：方程（4）的解等价于如下方程 y(x)?y0?1)。 K?xx0f(t,y(t))dt （5）
的解。取连续函数空间C[x0??,x0??]，定义其上的映射
T:C[x0??,x0??]?C[x0??,x0??]
为
(Ty)(x)?y0??f(t,y(t))dt
x0x则积分方程（5）的解等价于T的不动点。对任意两个连续函数y1(x)，
y2(x)?C[x0??,x0??]，由于
?(Ty1,Ty2)? ? ?x?[x0??,x0??]x0max?xx[f(t,y1(t))?f(t,y2(t))]dt f(t,y1(t))?f(t,y2(t))dt
x?[x0??,x0??]x0max?x?[x0??,x0??]maxK?y1(t)?y2(t)dt??K?(y1,y2)
x0x令a?K?，则a?1，故T是压缩映射，从而T有惟一不动点，即积分方程（5）有唯一解，从而微分方程（4）在[x0??,x0??]上有惟一解。
例3 设K(s,t)是定义在[a,b]?[a,b]上的二元连续函数，则对于任何常数?及任何给定的连续函数f(t)?C[a,b]，如下Volterra型积分方程
x(t)?存在唯一解。
??K(s,t)x(s)ds?f(t) (6)
at证明：取连续函数空间C[a,b]，其上定义映射T：C[a,b?C[a,b]]为
(Tx)(t)???K(s,t)x(s)ds?f(t)
at则方程（6）的解等价于T的不动点。由于K(s,.t)在[a,b]?[a,b]上连续，于是K(s,t)在
[a,b]?[a,b]有最大值，记为M，即
M?max?K(s,t)：(s,t)?[a,b]?[a,b]?
对任何两个连续函数x1(t),x2(t)，由于
(Tx1)(t)?(Tx2)(t)???taK(s,t)[x1(s)?x2(s)]ds
??M(t?a)maxa?s?bx1(s)?x2(s)??M(t?a)?(x1,x2)
(T2xt1)(t)?(T2x2)(t)???aK(s,t)[(Tx1)(s)?(Tx2)(s)]ds
??2M2?(xt1,x2)?a(s?a)ds ?2 ?M2(t?a)22?(x1,x2)
一般地，对自然数n，归纳可得
(Tnx?nMn(t?a)n1)(t)?(Tnx2)(t)?n!?(x1,x2)
因此
?(Tnx1,Tnx2)?maxa?t?b(Tnx1)(t)?(Tnx2)(t)
??nMn(b?a)nn!?(x1,x2)
n注意到lim?Mn(b?a)nn??n!?0，因此存在自然数n0，满足
?Mn(b?a)n0n00n0!这说明Tn0?a?1
是压缩映射，由压缩映射原理可知，有惟一不动点，亦即Volterra型积分方程（6）
有惟一解。
例4（隐函数存在定理） 设函数f(x,y)在带状域a?x?b,???y??中处处连续，且处处有关于y的偏导数fy(x,y)。如果存在常数m和M，满足
'0?m?fy'(x,y)?M,m?M
则方程f(x,y)?0在区间[a,b]上必有惟一的连续函数y??(x)作为解，即
f(x,?(x))?0,x?[a,b]
证明：在完备空间C[a,b]中作映射T，使对于任意的函数??C[a,b]，有
(T?)(x)??(x)?1f(x,?(x)) M按定理条件，f(x,y)是连续的，所以(T?)(x)也是连续的，即T??C[a,b]，故T是C[a,b]到C[a,b]的映射。现证T是压缩映射，??1,?2?C[a,b]由微分中值定理存在0???1使
(T?2)(x)?(T?1)(x)??2(x)?11f(x,?2(x))??1(x)?f(x,?1(x)) MM
??2(x)??1(x)?1'fy[x,?1(x)??(?2(x)??1(x))]?(?2(x)??1(x)) Mm) Mmm又0?m?M所以0?，则0???1,且 ?1令??1?MM??2(x)??1(x)(1?(T?2)(x)?(T?1)(x)???2(x)??1(x)
按C[a,b]中距离的定义，有?(T?2,T?1)???2(x)??1(x)，所以T是压缩映像，存在??C[a,b]使T???，即?(x)??(x)?11f(x,?(x))，即f(x,?(x))?0，所以 MMf(x,?(x))?0(a?x?b)