《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版习题解答 下载本文

《初等数论》习题解答(第三版)广东石油化工学院

ppan()n?an?1()n?1?qqanpn?an?1pn?1q??a1p?a0?0 q?a1pqn?1?a0qn?0 (2)

?a1pqn?1?a0qn,

由(2)?anpn?an?1pn?1q?所以q整除上式的右端,所以q|anpn,又(p,q)?1,q?1, 所以(q,pn)?1,?q|an; 又由(2)有anpn?an?1pn?1q??a1pqn?1??a0qn

因为p整除上式的右端,所以P|a0qn ,(p,q)?1,q?1,所以(qn,p)?1, ∴p|an 故(1)的有理根为

p,且p|a0,q|an。 q假设2为有理数,x?2,?x2?2?0,次方程为整系数方程,则由上述结论,可知其有有理根只能是

?1,?2,这与2为其有理根矛盾。故2为无理数。

另证,设2为有理数2=

p,(p,q)?1,q?1,则qp22?2,?2q2?p2,?(p2,q2)?(2q2,p2)?q2?1

q但由(p,q)?1,q?1知(p2,q2)?1,矛盾,故2不是有理数。 §4 质数·算术基本定理 1.试造不超过100的质数表 解:用Eratosthenes筛选法 (1)算出100?10a

(2)10内的质数为:2,3,5,7

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(3)划掉2,3,5,7的倍数,剩下的是100内的素数 将不超过100的正整数排列如下:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2.求82798848及81057226635000的标准式.

解:因为8|848,所以8|A,A?82798848?8?10349856?23?B, 又8|856,所以8|B,B?8?1293732?23?C, 又4|32,所以4|C,C?4?323433?22?D

又9|(3+2+3+4+3+3),所以9|D,D?9?35937?32?E, 又9|(3+5+9+3+7),所以9|E,E?9?3993 又3993?3?1331?3?113 所以A?2835113;

同理有81057226635000?23?33?54?73?112?17?23?37。 3.证明推论3.3并推广到n个正整数的情形. 推论3.3 设a,b是任意两个正整数,且

?1?2a?p1?p2??n?pn,?i?0,i?1,2,,k, ,k,

?k?pk,

?2b?p1?1?p2??n?pn,?i?0,i?1,2,?1?2?p2?则(a,b)?p1?k?1?2?pk?p2?,[a,b]?p1 7 / 77

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其中?i?min(?i,?i),?i?min(?i,?i),i?1,2,证:

,k

?i?min(?i,?i),?0??i??i,0??i??i

k)

∴ pi?i|pi?i,pi?i|pi? i(i?1,2∴

?pii?1k?i?pi,?pii?1i?1k?ik?i?ip?i. i?1k?1?2p2∴ p1?1?2p2∴ p1?k?1?2pk|(a,b),又显然(a,b)|p1p2?k?1?2pk?(a,b),同理可得p1p2?kpk

?kpk?[a,b],?i?max{?i,?i}

推广

?12设a1?p1?11p2?22pk?1k,a2?p1?21p2pk?2k,?n2,an?p1?n1p2?nkpk

(其中pj为质数j?1,2,?i1?i2p1p2?ikpk?(a1,a2,,k,ai为任意n个正整数i?1,2,,n,?ij?0), 则

,an),?ij?min{?ij},1?i?nj?1,2,,k ,k

?i1?i2p1p2?ikpk?[a1,a2,,an],?ij?max{?ij},j?1,2,1?i?n4.应用推论3.3证明§3的定理4(ii)

?1?2p2证:设a?p1?k?1pk,b?p1?1p2?kpk,

其中p1, p2, ?, pk是互不相同的素数,?i,?i(1 ? i ? k)都是非负整数,有

?1(a,b)?p1?1p2?kpk,?i?min{?i,?i},1?i?k,?k[a,b]?p1p2由此知(a, b)[a, b] =

?1?1pk,?i?max{?i,?i},1?i?k。min{?i,?i}?max{?i,?i}i

?pii?1k?i??i??pi?1k??pi?i??i=ab;从而有[a,b]?i?1kab. (a,b)5.若2n?1是质数(n>1),则n是2的方幂. 证:(反证法)设n?2kl(l为奇数), 则2n?1?22?l?1?(22)l?1?(22?1)[22kkkk?(l?1)?22?(l?2)?k?1]

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∵ 1?22?1?(22)l?1?2n?1, ∴ 2n?1为合数矛盾,故n一定为2的方幂. §5 函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 1.求30!的标准分解式.

解:30内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

kk?2?????2???3???4???5???2??2??2??2??2??15?4?3?1?0?23

?30??30??30??30??30?

?3?????2???3???4???3??3??3??3??5?????2???3???5??5??5??7?????2???7??7??13?????2???13??13??17?????2???17??17??30??30??30??30??30??30??30??30??30??30??30??30??30??10?3?1?0?14

?6?1?0?7

?30??30??4?0?4,?11?????2???11??11??30??30??2?0?2,?13?????2???13??13??2?0?2

?2?0?2

?1?0?1,?19??19??23??29?1

∴ 30!?223?314?55?74?112?132?17?19?23?29 2.设n是任一正整数,?是实数,证明:

??n???(i) ??????

n????n?? (ii) ?????????????????nn????证:(i)设[?]?m.则由性质II知m???m?1,

?1??n?1? 9 / 77

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所以 nm?n??nm?n, 所以nm?[n?]?nm?n,所以m?[n?]?m?1,又在m与m+1之间只有唯一整数m,n所以[[n?]]?m?[?]. nkk?1?{?}?,k?0,1,2,nn,n?1,

(ii) [证法一]设

则k?n{?}?k?1,?[n?]?n[?]?k ①当i?k?n?1时,{?}?ik?1?ii??1,[??]?[?] ; nnnik?ii??1,[??]?[?]?1; nnn②当i?k?n时,2?{?}?1n?1?[?]?[??]??[??]nnn?1n?11n?1?kii??[??]??[??]??[??]

nni?n?kni?0i?0?(n?k)[?]?k([?]?1)?n[?]?ki??[??]?[n?]

ni?0[证法二] 令f(?)?n?1i[??]?[n?], ?ni?0n?1n?11i?1f(??)??[??]?[n??1]?f(?)

nni?0n?11i?1f(??)??[??]?[n??1]?f(?)

nni?0?f(?)是以

1为周期的函数。 n 10 / 77