当a>1,0<b<1时,ln(a+b)=ln(a+b),lna+lnb+2=lna+ln2=ln(2a), ∵a+b﹣2a=b﹣a≤0, ∴a+b≤2a, ∴ln(a+b)<ln(2a), +++∴ln(a+b)≤lna+lnb+ln2. +++当b>1,0<a<1时,同理可证ln(a+b)≤lna+lnb+ln2. +++当0<a<1,0<b<1时,可分a+b≥1和a+b<1两种情况,均有ln(a+b)≤lna+lnb+ln2. 故④正确. 故答案为①③④. 点评: 本题考查新定义及对数的运算性质,理解定义所给的运算规则是解题的关键,本题考查了分类讨论的思想,逻辑判断的能力,综合性较强,探究性强.易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错. 三、解答题 17.(12分)(2013?山东)设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,
.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A﹣B)的值. 考点: 余弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用余弦定理列出关系式,将b与cosB的值代入,利用完全平方公式变形,求出acb的值,与a+c的值联立即可求出a与c的值即可; (2)先由cosB的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值,再由a,b及sinB的值,利用正弦定理求出sinA的值,进而求出cosA的值,所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解:(1)∵a+c=6①,b=2,cosB=, +++∴由余弦定理得:b=a+c﹣2accosB=(a+c)﹣2ac﹣整理得:ac=9②, 联立①②解得:a=c=3; (2)∵cosB=,B为三角形的内角, 2222ac=36﹣ac=4, ∴sinB==, ∵b=2,a=3,sinB=, ∴由正弦定理得:sinA===, ∵a=c,即A=C,∴A为锐角,
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∴cosA==, ×﹣×=. 则sin(A﹣B)=sinAcosB﹣cosAsinB=点评: 此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18.(12分)(2013?山东)如图所示,在三棱锥P﹣ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH. (1)求证:AB∥GH;
(2)求二面角D﹣GH﹣E的余弦值.
考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用;立体几何. 分析: (1)由给出的D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF,再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH,从而得到AB∥GH; (2)由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直,以B为坐标原点建立空间直角坐标系,设出BA、BQ、BP的长度,标出点的坐标,求出一些向量的坐标,利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值. 解答: (1)证明:如图, 12
∵C,D为AQ,BQ的中点,∴CD∥AB, 又E,F分别AP,BP的中点,∴EF∥AB, 则EF∥CD.又EF?平面EFQ,∴CD∥平面EFQ. 又CD?平面PCD,且平面PCD∩平面EFQ=GH,∴CD∥GH. 又AB∥CD,∴AB∥GH; (2)由AQ=2BD,D为AQ的中点可得,三角形ABQ为直角三角形, 以B为坐标原点,分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系, 设AB=BP=BQ=2, 则D(1,1,0),C(0,1,0),E(1,0,1),F(0,0,1), 因为H为三角形PBQ的重心,所以H(0,,). 则,设平面GCD的一个法向量为, . 由,得,取z1=1,得y1=2. 所以. 设平面EFG的一个法向量为由,得,取z2=2,得y2=1. 所以. 13
所以=. 则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于. 点评: 本题考查了直线与平面平行的性质,考查了二面角的平面角及其求法,考查了学生的空间想象能力和思维能力,考查了计算能力,解答此题的关键是正确求出H点的坐标,是中档题. 19.(12分)(2013?山东)甲乙两支排球队进行比赛,先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率;
(2)若比赛结果3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分,对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)甲队获胜有三种情形,①3:0,②3:1,③3:2,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜,分别求出相应的概率,最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率; (2)X的取值可能为0,1,2,3,然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率,列出分布列,最后根据数学期望公式解之即可. 解答: 解:(1)甲队获胜有三种情形,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜 ①3:0,概率为P1=()=②3:1,概率为P2=C③3:2,概率为P3=C3; 2()×(1﹣)×=()×(1﹣)×=22; . ∴甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率:(2)乙队得分X,则X的取值可能为0,1,2,3. 由(1)知P(X=0)=P1+P2=P(X=1)=P3=P(X=2)=C; (1﹣)×()×=3222; ; P(X=3)=(1﹣)+C则X的分布列为 X 3
(1﹣)×()×=; 2 14
1 0 P E(X)=3×+2× +1×+0× =. 点评: 本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式,以及离散型随机变量的期望与分布列,同时考查了分类讨论的数学思想,属于中档题. 20.(12分)(2013?山东)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前n项和为Tn且
(λ为常数).令cn=b2n(n∈N)求数列
*
{cn}的前n项和Rn.
考点: 等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设出等差数列的首项和公差,由已知条件列关于首项和公差的方程组,解出首项和公差后可得数列{an}的通项公式; (2)把{an}的通项公式代入,求出当n≥2时的通项公式,然后由cn=b2n得数列{cn}的通项公式,最后利用错位相减法求其前n项和. 解答: 解:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由a2n=2an+1,取n=1,得a2=2a1+1,即a1﹣d+1=0① 再由S4=4S2,得联立①、②得a1=1,d=2. 所以an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2)把an=2n﹣1代入所以b1=T1=λ﹣1, 当n≥2时,=. ,得,则. ,即d=2a1② 所以,. Rn=c1+c2+…+cn=③ ④ 15