当a＞1，0＜b＜1时，ln（a+b）=ln（a+b），lna+lnb+2=lna+ln2=ln（2a）， ∵a+b﹣2a=b﹣a≤0， ∴a+b≤2a， ∴ln（a+b）＜ln（2a）， +++∴ln（a+b）≤lna+lnb+ln2． +++当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln（a+b）≤lna+lnb+ln2． +++当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln（a+b）≤lna+lnb+ln2． 故④正确． 故答案为①③④． 点评： 本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错． 三、解答题 17．（12分）（2013?山东）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，

．

（1）求a，c的值；

（2）求sin（A﹣B）的值． 考点： 余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： （1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可； （2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 解答： 解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=， +++∴由余弦定理得：b=a+c﹣2accosB=（a+c）﹣2ac﹣整理得：ac=9②， 联立①②解得：a=c=3； （2）∵cosB=，B为三角形的内角， 2222ac=36﹣ac=4， ∴sinB==， ∵b=2，a=3，sinB=， ∴由正弦定理得：sinA===， ∵a=c，即A=C，∴A为锐角，

11

∴cosA==， ×﹣×=． 则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=点评： 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18．（12分）（2013?山东）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH． （1）求证：AB∥GH；

（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．

考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质． 专题： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何． 分析： （1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH； （2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值． 解答： （1）证明：如图， 12

∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB， 又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB， 则EF∥CD．又EF?平面EFQ，∴CD∥平面EFQ． 又CD?平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH． 又AB∥CD，∴AB∥GH； （2）由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形， 以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 设AB=BP=BQ=2， 则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1）， 因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0，，）． 则，设平面GCD的一个法向量为， ． 由，得，取z1=1，得y1=2． 所以． 设平面EFG的一个法向量为由，得，取z2=2，得y2=1． 所以． 13

所以=． 则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于． 点评： 本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出H点的坐标，是中档题． 19．（12分）（2013?山东）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．

（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；

（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望． 考点： 离散型随机变量的期望与方差． 专题： 概率与统计． 分析： （1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率； （2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可． 解答： 解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜 ①3：0，概率为P1=（）=②3：1，概率为P2=C③3：2，概率为P3=C3； 2（）×（1﹣）×=（）×（1﹣）×=22； ． ∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：（2）乙队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3． 由（1）知P（X=0）=P1+P2=P（X=1）=P3=P（X=2）=C； （1﹣）×（）×=3222； ； P（X=3）=（1﹣）+C则X的分布列为 X 3

（1﹣）×（）×=； 2 14

1 0 P E（X）=3×+2× +1×+0× =． 点评： 本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题． 20．（12分）（2013?山东）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}的前n项和为Tn且

（λ为常数）．令cn=b2n（n∈N）求数列

*

{cn}的前n项和Rn．

考点： 等差数列的通项公式；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{an}的通项公式； （2）把{an}的通项公式代入，求出当n≥2时的通项公式，然后由cn=b2n得数列{cn}的通项公式，最后利用错位相减法求其前n项和． 解答： 解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0① 再由S4=4S2，得联立①、②得a1=1，d=2． 所以an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）把an=2n﹣1代入所以b1=T1=λ﹣1， 当n≥2时，=． ，得，则． ，即d=2a1② 所以，． Rn=c1+c2+…+cn=③ ④ 15