§6 平面向量数量积的坐标表示

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1．问题导航

(1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗？

(2)向量有几种表示方法？由于表示方法的不同，计算数量积的方法有什么不同？ (3)由向量夹角余弦值的计算公式可知，两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有什么关系？

2．例题导读

P96例1.通过本例学习，学会利用平面向量数量积的坐标表示计算两向量夹角的余弦值． 试一试：教材P99练习T1你会吗？

P98例2，P99例3.通过此二例学习，体会向量在解析几何中的应用，学会利用平面向量的数量积求曲线的方程．

试一试：教材P100习题2－6B组T6你会吗？

P99例4.通过本例学习，学会利用向量的夹角公式求两条直线的夹角． 试一试：教材P100习题2－6A组T6你会吗？ 1．向量数量积的坐标表示

向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．简记为“对应相乘计算和”．

2．两个向量垂直的坐标表示

向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 3．度量公式 长度22222向量a＝(x，y)，则|a|＝x＋y或|a|＝x＋y 公式 距离→22P1＝(x1，y1)，P2＝(x2，y2)，则|P1P2|＝（x2－x1）＋（y2－y1） 公式 非零向量a与b的夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有cos θ＝＝|a||b|夹角x1x2＋y1y2公式 22x2x21＋y1·2＋y24.直线l的方向向量 给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线x＋2y－1＝0的方向向量为(1，2)．( )

(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a，b的夹角θx1x2＋y1y2

.( ) 2222x1＋y1x2＋y2

a·b满足cos θ＝

→

(3)若A(1，0)，B(0，－1)，则|AB|＝2.( )

1

解析：(1)错误．直线x＋2y－1＝0的方向向量为(1，－)．

2(2)错误．当a≠0且b≠0时，向量a，b的夹角θ满足cos θ＝

x1x2＋y1y2

，即向22

x2x21＋y12＋y2

量夹角公式的适用范围是a≠0且b≠0.

(3)正确．由两点间的距离公式，得 →22

|AB|＝（0－1）＋（－1－0）＝2. 答案：(1)× (2)× (3)√

2．已知向量a＝(－4，7)，向量b＝(5，2)，则a·b的值是( ) A．34 B．27 C．－43 D．－6

解析：选D.因为a＝(－4，7)，b＝(5，2)，所以a·b＝(－4，7)·(5，2)＝－4×5＋7×2＝－20＋14＝－6.

π

3．已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m). 若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )

6

A．23 B．3 C．0 D．－3

解析：选B.因为a·b＝(1，3)·(3，m)＝3＋3m，

π2222又a·b＝1＋（3）×3＋m×cos，

6

π2222

所以3＋3m＝1＋（3）×3＋m×cos，所以m＝3.

6

1．对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明

(1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化，其将数与形紧密联系在一起，使向量的运算方式得到拓展．

(2)向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，

→→

则在平面直角坐标系中，一定存在点P(x，y)，使得OP＝a＝(x，y)，故|OP|＝|a|＝x2＋y2，

→→

即|a|为点P到原点的距离；同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，故|AB|

22＝（x2－x1）＋（y2－y1），即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．

2．在不同表示形式下求向量夹角的策略

(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出a·b，|a|和|b|或直接得出它们之间的关系．

x1x2＋y1y2

(2)当a，b是坐标形式时，则可直接利用公式cos θ＝22(其中a＝(x1，2

x1＋y1·x22＋y2

y1)，b＝(x2，y2))求解．

3．如何用向量所成的角来判断直线所成的角 可以借助向量所成的角来判断直线所成的角，但必须注意两者的范围不同，向量夹角的

?π?范围是[0，π]，而直线夹角的范围是?0，?.

2??

设m，n分别为直线l1，l2(l1与l2不重合)的方向向量，θ为m与n的夹角，α为l1与l2所成的角，则

(1)当θ＝0°或180°时，l1∥l2，此时α＝0°，

(2)当0°<θ≤90°时，l1与l2所成的角α＝θ，

(3)当90°<θ<180°时，l1与l2所成的角α＝180°－θ.

平面向量数量积的坐标运算

已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)．求： (1)a·b； (2)(a＋b)·(2a－b)； (3)(a·b)c， a(b·c)；(4)(a＋b)2，(a＋b)·(a－b)． (链接教材P98例1)

[解] (1)a·b＝(1，3)·(2，5)＝1×2＋3×5＝17. (2)法一：因为a＋b＝(1，3)＋(2，5)＝(3，8)，

2a－b＝2(1，3)－(2，5)＝(2，6)－(2，5)＝(0，1)， 所以(a＋b)·(2a－b)＝(3，8)·(0，1)＝3×0＋8×1＝8. 法二：因为a＝(1，3)，b＝(2，5)，

222222

所以a＝1＋3＝10，b＝2＋5＝29，a·b＝1×2＋3×5＝17.

22

所以(a＋b)·(2a－b)＝2a＋a·b－b ＝2×10＋17－29＝8.

(3)(a·b)c＝17c＝17(2，1)＝(34，17)，

a(b·c)＝a((2，5)·(2，1))＝9(1，3)＝(9，27)． (4)因为a＋b＝(3，8)，

2222

所以(a＋b)＝|a＋b|＝3＋8＝73. 因为a＝(1，3)，b＝(2，5)

222222

所以a＝1＋3＝10，b＝2＋5＝29，

22

所以(a＋b)·(a－b)＝a－b＝10－29＝－19.

方法归纳

(1)关于数量积的坐标运算，解题时常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算．二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．

22

(2)在正确理解公式a·b＝x1x2＋y1y2的基础上，熟练运用a＝|a|，(a＋b)·(a－b)＝22222

|a|－|b|，(a＋b)＝|a|＋2a·b＋|b|及其变形，并在练习中总结经验，提高运算能力．

1．(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于( ) 11A. B．－ 2233C. D．－ 22(2)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝( ) A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11 (3)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)． ①求a·(a－b)；