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第20练 三角函数的图象与性质

题型一 三角函数的图象

ππ

例1 (2013·四川)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值

22分别是( ) π

A．2，－

3π

C．4，－

6

π

B．2，－

6π

D．4，

3

破题切入点 考查“五点作图法”的逆用，由图象求解析式，先看周期，再看什么时候取得最值以及函数零点等． 答案 A

π35π

－?，T＝π，∴ω＝2， 解析 T＝－?412?3?5ππ

∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

122π

∴φ＝2kπ－，k∈Z.

3ππ－，?， 又φ∈??22?π

∴φ＝－，选A.

3

题型二 三角函数的简单性质 例2 (2013·山东)设函数f(x)＝

3

－3sin2ωx－sin ωx·cos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对2

π

称中心到最近的对称轴的距离为.

4(1)求ω的值；

3π

π，?上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间?2??

破题切入点 (1)先根据倍角公式以及两角和与差的三角函数公式将f(x)的解析式化简为“一π

角一函数名”的形式，然后根据“y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为”

4确定该函数的周期，代入周期公式即可求出ω的值；

(2)先根据(1)确定函数解析式，然后利用给定区间确定f(x)的区间，根据该函数在区间上的图

1

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象即可确定所求函数的最值． 解 (1)f(x)＝3

－3sin2ωx－sin ωxcos ωx 2

1－cos 2ωx13

＝－3×－sin 2ωx 222＝

31

cos 2ωx－sin 2ωx 22

π

2ωx－?. ＝－sin?3??

2ππ

依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.

2ω4π

2x－?. (2)由(1)知f(x)＝－sin?3??3π5ππ8π

当π≤x≤时，≤2x－≤. 2333所以－

π3

2x－?≤1. ≤sin?3??2

3. 2

所以－1≤f(x)≤

3π3

π，?上的最大值和最小值分别为，－1. 故f(x)在区间?2??2题型三 三角函数图象的变换

π

例3 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)，其中ω>0，且函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距

4π

离等于.若函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数m＝

3________.

破题切入点 由相邻两对称轴间距离得出周期进而求出ω，再由平移后为偶函数得出m的最小值． 答案

π 12

Tπ

解析 依题意，可得＝，

232π

又T＝，故ω＝3，

ωπ

所以f(x)＝sin(3x＋)．

4

函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为

2

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π

g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．

4

ππ

g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，

42kππ

即m＝＋(k∈Z)，

312π

从而最小正实数m＝. 12

总结提高 (1)利用三角函数图象确定解析式的基本步骤：①最值定A：即根据给定函数图象确定函数的最值即可确定A的值．②周期定ω：即根据给定函数图象的特征确定函数的周期，2π

利用周期计算公式T＝求解ω.③最值点定φ：即根据函数图象上的最高点或最低点的坐标，

|ω|代入函数解析式求解φ的取值，注意利用中心点求解φ时，要验证该点所在的单调区间以确定φ，否则会产生增解．

(2)三角函数的简单性质主要包括：定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性和单调性，对称性注意各三角函数的对称中心和对称轴，求解奇偶性时首先应利用诱导公式将函数化成最简再去研究，周期性的求解注意公式中应为|ω|而不是ω，单调性要将x的系数化成正的．本部分题目注意要将ωx＋φ当作一个整体．

(3)对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不φ

同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx＋φ写成ω(x＋)最后确定平移的单位和方向．伸

ω缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分． ππ1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其

23图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) π

A．y＝4sin(4x＋)

6π

B．y＝2sin(2x＋)＋2

3π

C．y＝2sin(4x＋)＋2

3π

D．y＝2sin(4x＋)＋2

6

3