第六章 实数
知识讲解+题型归纳
三、平方根与立方根
1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作? a （a>=0）
特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。
? 知识讲解
一 、 实数的组成
1、实数又可分为正实数，零，负实数
2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应
二 、相反数、绝对值、倒数
1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为 | a |3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1a . 0没有倒
数。
4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。 开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根 。数a的立方根用
3a表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
四 、实数的运算
有理数的加法法则：
a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：
a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．
b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正 c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0 4.有理数除法法则：
4）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2，则有a>b；均为负数时相反 5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）
? 题型归纳
? 经典例题
类型一．有关概念的识别
1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，
，3
a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0实数都得0。 b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。 5.有理数的乘方:
在an中，a叫底数，n叫指数
a）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是0 b）a0=1（a不等于0） 6.有理数的运算顺序： a）同级运算，先左后右
b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。
五·实数大小比较的方法
1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数 2）比差法：若a-b>0则a>b；若a-b<0则a B.两个数均为负数时，a/b>1则a π，，，其中，无理数的个数有（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数 故选C 举一反三： 【变式1】下列说法中正确的是（ ） A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、 是5的平方根的相反数 【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念， ∵ =9，9的平方根是±3，∴A正确． ∵1的立方根是1，=1， 是5的平方根，∴B、C、D 都不正确． 【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ） A、1 B、1.4 C、 D、 【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为 ，由圆的定义知|AO|= ，∴A表示数为 ，故选C． 【变式3】 【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10 因此3π-9＞0，3π-10＜0 ∴ 类型二．计算类型题 2．设 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 解析：（估算）因为，所以选B 举一反三： 【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27 立方根是__________. 3） ___________， ___________， ___________. 【答案】1）；.2）-3. 3）， ， 【变式2】求下列各式中的 （1） （2） （3） 【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4 类型三．数形结合 3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为 ，则A，B两点的距离为______ 解析：在数轴上找到A、B两点， 举一反三： 【变式1】如图，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B关 于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）． A． －1 B．1－ C．2－ D． －2 【答案】选C [变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：