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第2课时 正弦定理和余弦定理
学习目标 1.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形形式.2.掌握用两边夹角表示的三角形面积.
3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．
知识点一 正弦定理、余弦定理及常见变形 1．正弦定理及常见变形
(1)＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)； sinAsin Bsin C(2)a＝
abcbsinAcsinA＝＝2RsinA； sinBsinCabc(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝. 2R2R2R2．余弦定理及常见变形 (1)a＝b＋c－2bccosA，
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b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC； b2＋c2－a2
(2)cosA＝，
2bca2＋c2－b2
cosB＝，
2aca2＋b2－c2
cosC＝.
2ab知识点二 用两边夹角表示的三角形面积公式
111
一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半，即S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
2221
思考1 S△ABC＝absinC中，bsinC的几何意义是什么？
2答案 BC边上的高．
思考2 如何用AB，AD，角A表示?ABCD的面积？ 答案 S?ABCD＝AB·AD·sinA.
1．当b＋c－a>0时，△ABC为锐角三角形．( × )
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2．△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B.( √ )
3．在△ABC中，恒有a＝(b－c)＋2bc(1－cosA)．( √ ) 4．△ABC中，若c－a－b>0，则角C为钝角．( √ )
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5．△ABC的面积S＝abc(其中R为△ABC外接圆半径)．( √ )
4R2
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题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
2
例1 在△ABC中，若ccosB＝bcosC，cosA＝，求sinB的值．
3解 由ccosB＝bcosC，结合正弦定理， 得sinCcosB＝sinBcosC，
故sin(B－C)＝0，∵0 22222222222 ∵cosA＝，∴由余弦定理可知，a＝b＋c－2bccosA＝2b－2b·＝b，得3a＝2b， 333再由余弦定理，得cosB＝引申探究 1．对于本例中的条件，ccosB＝bcosC，能否使用余弦定理？ 630 ，故sinB＝. 66 a2＋c2－b2a2＋b2－c2 解 由余弦定理，得c·＝b·. 2ac2ab化简得a＋c－b＝a＋b－c， ∴c＝b，从而c＝b. 2．本例中的条件ccosB＝bcosC的几何意义是什么？ 解 如图，作AD⊥BC，垂足为D. 2 22 2 2 2 2 2 则ccosB＝BD，bcosC＝CD. ∴ccosB＝bcosC的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等． 反思感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段． (2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式． 跟踪训练1 在△ABC中，已知b＝ac，a－c＝ac－bc. (1)求A的大小； 309教育资源库 www.309edu.com 2 2 2 309教育网 www.309edu.com (2)求bsinB的值． c解 (1)由题意及余弦定理知， b2＋c2－a2ac＋bc－ac1cosA＝＝＝， 2bc2bc2 π ∵A∈(0，π)，∴A＝. 3(2)由b＝ac，得＝， ∴ 2 bacbbsinBasinA3 ＝sinB·＝sinB·＝sinA＝. cbsinB2 题型二 求三角形面积 例2 在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为( ) A．9B．18C．93D．183 答案 C 解析 由正弦定理得 ACsin Bsin A＝BC，∴AC＝ BC·sin B6×sin 120° ＝＝63.又∵C＝180° sin Asin 30° －120°－30°＝30°， 111 ∴S△ABC＝AC·BC·sin C＝×63×6×＝93. 222反思感悟 求三角形面积，主要用两组公式 1 (1)×底×高． 2 (2)两边与其夹角正弦的乘积的一半． 选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求． π→→ 跟踪训练2 在△ABC中，已知AB·AC＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为． 61答案 6 →→→→ 解析 ∵AB·AC＝|AB||AC|cosA＝tanA， sinA→→ ∴|AB||AC|＝2， cosA1→→ ∴S△ABC＝|AB||AC|sinA 21sinA12＝2＝tanA 2cosA21＝. 6 309教育资源库 www.309edu.com 2