2.5 等比数列的前n项和

教学过程 推进新课 ［合作探究］

师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q+…+q=？ 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察. 生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.

师 若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？ 生 q+q+…+q+q

2

2

nn n+1

.

生 每一项就成了它后面相邻的一项. 师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？ 师 生共同探索： 如果记Sn=1+q+q+…+q, 那么qSn=q+q+…+q+q

2

2

nn n+1

.

n要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-q. 师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.

1?qn生 如果q≠1，则有S?.

1?q师 当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果. 生 如果q＝1，那么Sn=n.

师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？ 课件展示：

a1+a2+a3+…+an=？

［教师精讲］

师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”. 师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”. 如果记Sn=a1+a2+a3+…+an, 那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,

要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.

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师 再次提醒学生注意q的取值. 如果q≠1，则有Sn?a1?anq.

1?q师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程： 如果记Sn=a1+a1q+a1q+…+a1q , 那么qSn=a1q+a1q+…+a1q+a1q,

要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1q.

n2

2

n-1

n-1na1(1?qn)如果q≠1，则有Sn?.

1?q师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”. 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.

师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？ 生 独立思考、合作交流. 生 如果q＝1，Sn=na1. 师 完全正确.

如果q＝1，那么Sn=nan正确吗？怎么解释？

生 正确.q＝1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍. 师 对了，这就是认清了问题的本质.

师 等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：［合作探究］

思路一：根据等比数列的定义，我们有：

aa2a3a4???...?n?q, a1a2a3an?1再由合比定理，则得

a2?a3?a4?...?an?q,

a1?a2?a3?...?an?1即

Sn?a1?q,

Sn?an从而就有(1-q)Sn=a1-anq.

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(以下从略)

思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an得

Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an), 从而得(1-q)Sn=a1-anq. (以下从略)

师 探究中我们们应该发现，Sn-S n-1=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？ 生 n＞1.

师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-S n-1=an，n＞1. 师 综合上面的探究过程，我们得出：

?na1,q?1,?na1,q?1,??Sn??a1(1?qn)或者?a1?anqq?1

?1?q,q?1?1?q,??［例题剖析］

【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：

111,,,…； 2481(2)a1=27,a9=,q＜0.

243(1)

［合作探究］ 师生共同分析：

11，q?,求n＝8时的和，直接用公式即可. 2218

由(2)所给条件，需要从a9?中获取求和的条件，才能进一步求n＝8时的和.而a9=a1q，

243由(1)所给条件，可得a1?所以由条件可得q=了.

生 写出解答：

8

a911 =，再由q＜0，可得q??，将所得的值代入公式就可以a1243?27311[1?()8112?255. (1)因为a1?,q?，所以当n＝8时，S8?21222561?2 - 3 -

(2)由a1=27,a9?a118，可得q?9?，

a243?2724311 311(1?)243?27?1640. 于是当n＝8时，S8?271811?(?)3又由q＜0，可得q??,

【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？

师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30 000求

n的问题.

生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.

解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.

5000(1?1.1n)?30000, 于是得到

1?1.1整理得1.1=1.6,

两边取对数，得nlg1.1=lg1.6, 用计算器算得n?nlg1.60.2≈≈5(年). lg1.10.041答：大约5年可以使总销售量达到30 000台. 练习：

教材第66页，练习第1、2、3题.课堂小结

本节学习了如下内容：

1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”. 2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.

在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业

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