2.基本不等式

1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数． 2．理解定理1和定理2(基本不等式)．(重点)

3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．(难点、易混点)

[基础·初探]

教材整理1 两个定理及算数平均与几何平均 阅读教材P5～P6“例3”以上部分，完成下列问题． 1．两个定理 定理 定理1 定理2 内容 等号成立的条件 当且仅当a＝b时，等号成立 当且仅当a＝b时，等号成立 a2＋b2≥2ab(a，b∈R) a＋b2≥ab(a，b＞0) 2.算术平均与几何平均 如果a，b都是正数，我们称

a＋b2

为a，b的算术平均，ab为a，b的几何平均．

下列不等式中，正确的个数是( ) ①若a，b∈R，则

2

a＋b2

≥ab； 1

≥2； x＋2

2

②若x∈R，则x＋2＋③若x∈R，则x＋1＋

2

1

≥2； x＋1

2④若a，b为正实数，则a＋b2

≥ab.

A．0 B．1 C．2 D.3

【解析】 显然①不正确；③正确；对于②，虽然x＋2＝2成立，故②正确；

1

2

112

无解，但x＋2＋2＞x＋2x＋2

2

④不正确，如a＝1，b＝4. 【答案】 C

教材整理2 利用基本不等式求最值 阅读教材P6～P8，完成下列问题． 已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则

(1)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，S取得最小值2P； (2)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值.

4

若x≠0，则f(x)＝2－3x－

2

S2

12

x2

的最大值是________，取得最值时x的值是________.

【导学号：32750006】

?24?【解析】 f(x)＝2－3?x＋2?≤2－3×4＝－10，

x?

?

42

当且仅当x＝2，即x＝±2时取等号．

x【答案】 －10 ±2

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

利用基本不等式证明不等式 a2b2c2 已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.

bca【精彩点拨】 观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系． 【自主解答】 ∵a>0，b>0，c>0，

a2

∴＋b≥2 b

a2·b＝2a， b2

b2c2

同理：＋c≥2b，＋a≥2c.

ca三式相加得：

a2b2c2

＋＋＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)， bcaa2b2c2

∴＋＋≥a＋b＋c. bca

1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．

2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．

[再练一题]

1．已知x，y，z均为正数，求证：＋【证明】 ∵x，y，z都是正数，

xyz111

＋≥＋＋. yzzxxyxyzxy1?xy?2∴＋＝?＋?≥. yzzxz?yx?z同理可得＋

yz2zx2

≥，＋≥. zxxyxxyyzy将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得＋＋xyz111

≥＋＋.

yzzxxyxyz利用基本不等式求最值 y2 设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．

xzy2

【精彩点拨】 由条件表示y，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，

xz求出最小值，但要注意等号取到的条件．

【自主解答】 由x－2y＋3z＝0，得y＝x＋3z2

，

y2x2＋9z2＋6xz1?x9z?∴＝＝?＋＋6? xz4xz4?zx?

1?≥?24?

x9z?

·＋6?＝3. zx?

3