第9章 电稳感应和电磁场 习题及答案

1. 通过某回路的磁场与线圈平面垂直指向纸面内，磁通量按以下关系变化：

??(t2?6t?5)?10?3Wb。求t?2s时，回路中感应电动势的大小和方向。

d???(2t?6)?10?3 dt当t?2s时，???0.01V

解：???由楞次定律知，感应电动势方向为逆时针方向

2. 长度为l的金属杆ab以速率?在导电轨道abcd上平行移动。已知导轨处于均匀磁

???场B中，B的方向与回路的法线成60°角，如图所示，B的大

小为B=kt(k为正常数)。设t?0时杆位于cd处，求：任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向。

解：任意时刻通过通过回路面积的磁通量为

??1?m?B?dS?Bl?tcos600?kl?t2

2导线回路中感应电动势为 ???d?m??kl?t dt方向沿abcda方向。

3. 如图所示，一边长为a，总电阻为R的正方形导体框固定于一空间非均匀磁场中，磁场方向垂直于纸面向外，其大小沿x方向变化，且B?k(1?x)，k?0。求： （1）穿过正方形线框的磁通量；

（2）当k随时间t按k(t)?k0t(k0为正值常量)变化时，线框中感生电流的大小和方向。 解：（1）通过正方形线框的磁通量为

??aa1???B?dS??Badx?ak?(1?x)dx?a2k(1?a)

S002（2）当k?k0t时，通过正方形线框的磁通量为

??a2k0t(1?1a) 2正方形线框中感应电动势的大小为

??d?1?a2k0(1?a)

2dt正方形线框线框中电流大小为

a2k01I??(1?a)，方向：顺时针方向

RR2?4.如图所示，一矩形线圈与载有电流I?I0cos?t长直导线共面。设线圈的长为b，宽为a；t?0时，线圈的AD边与长直导线重合；线圈以匀速度??垂直离开导线。求任一时刻线圈中的感应电动势的大小。

解：建立图示坐标系，长直导线在右边产生的磁感应强度大小为

Aa I?IB?0

2?xt时刻通过线圈平面的磁通量为

???t?a?I?Ib?t?a0bdx?0ln ????B?dS??S?t2?x2??tO

?t B b ?? Cx

D??0I0b?t?acos?tln 2??td??0I0bacos?t?t?a?[??sin?tln] dt2?(?t?a)t?tdI的变化率增大，求： dt任一时刻线圈中的感应电动势为

?i??5.如图所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈。两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以

(1) (2)线圈中的感应电动势。

解：(1) 任一时刻通过线圈平面的磁通量为 ?m??b?a?0I2πr（lnbldr??d?a?0I2πrdldr

??0Il2πb?ad?a?ln） bd(2) 线圈中的感应电动势为

???d??0ld?ab?adI?（ln?ln） dt2πdbdt6. 如图所示，长直导线AB中的电流I沿导线向上，并以

dI?2A?s?1的变化率均匀dt增长。导线附近放一个与之共面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示。求此线框中产生的感应电动势的大小和方向。

解：建立图示的坐标系，在直角三角形线框上x处取平行于y轴的宽度为dx、高度为y的窄条。由几何关系得到 y??2x?0.2 (SI)

通过此窄条的磁通量为

?? d??B?dS??I（?2x?0.2)ydx?0dx

2?（x?0.05）2?（x?0.05）?0Iy

通过直角三角形线框的磁通量为

???d???0I2??b0(?2x?0.2)dx

x?0.05O

x

???0Ib0.15?0Ib?0.05?ln?2.59?10?8I (SI) ??0.05d?dI??2.59?10?8??5.18?10?8V dtdt?8三角形线框中产生的感应电动势为

???感应电动势大小为5.18?10V ，方向为逆时针方向。

7. 如图所示，长直导线通以电流I，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长b，

宽a，线圈以速率?垂直于直线平移远离。求：线圈离长直导线距离为d时，线圈中感应电动势的大小和方向。

解：AB、CD运动速度?方向与磁力线平行，不产生感应电动势。 DA产生动生电动势为

????I?1??(??B)?dl??Bb??b0

D2?dA?BC产生电动势为

?2??回路中总感应电动势为

CB??(??B)?dl???b??0I2π(a?d)

???1??2?方向沿顺时针。

?0Ib?11(?) 2πdd?a8. 如图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直。半圆环的半径为b，环心O与导线相距a。设半圆环以速率?平行导线平移。求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压UM?UN。

解：作辅助线MN，则在MeNM回路中，沿?方向运动时d?m?0

∴ ?MeNM?0

即 ?MeN??MN

?又∵ ?MN??a?ba?b?Bcos?dl??0I?a?bln?0 2?a?b所以?MeN沿NeM方向，大小为

?0I?a?bln 2?a?bM点电势高于N点电势，即

UM?UN??0I?a?bln 2?a?b9. 如图所示，一长直导线中通有电流I，有一垂直于导线、长度为l的金属棒AB?在包含导线的平面内，以恒定的速度?沿与棒成?角的方向移动。开始时，棒的A端到导线的距离为a，求任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高。

解：建立图示坐标系，电流I在其右边产生的磁感应强度大小为

B??0I 方向：垂直纸面向里 2?x?在棒上取dl，dl段上的动生电动势为

????d??(??B)?dl??Bcos(??)dl

2?? I A O

v ???? l B x

a ?0I?sin?dx 2?xAB上的感应电动势为

?ABa?l??tcos?dx?0I?? d????sin?? Aa??tcos?2?xB???0I2??sin?lna?l??tcos?

a??tcos?电动势的方向从B指向A，A端电势高。

?labOaOl10. 导线长为，绕过点的垂直轴以匀角速?转动，=，磁感应强度B平行

3于转轴，如图所示。试求：

（1）ab两端的电势差； （2）a,b两端哪一点电势高? 解：(1)在Ob上取r?r?dr一小段 则 ?Ob??2l30?rBdr?2B?2l 9同理 ?Oa??l30?rBdr?1B?l2 18故 ?ab??aO??Ob?(?121?)B?l2?B?l2 1896(2)?ab?0 即Ua?Ub?0，故b点电势高。

11. 在两根平行放置相距为2a的无限长直导线之间，有一与其共面的矩形线圈，线圈

边长分别为l和2b，且l边与长直导线平行，两根长直导线中通有等值同向稳恒电流I，线

?圈以恒定速度?垂直直导线向右运动，如图所示。求：线圈运动到两导线的中心位置（即线圈的中心线与两根导线距离均为a）时，线圈中的感应电动势。

解：

???B?dS???x?2bx?0I11(?)ldr2?r2a?r?0Il(ln(x?2b)?lnx?ln(x?2b?2a)?ln(x?2a))2?

?0Ilv1d?d?dx111????(???)dtdxdt2?x?2bxx?2b?2ax?2a2?Ilvbx?a?b??0?a2?b212. 如图所示，金属杆AOC以恒定速度υ在均匀磁场B中垂直于磁场方向向上运动，已知AO?OC?L，求杆中的动生电动势。

解：AO段上产生的动生电动势为

?AO??OA??L(??B)?dl??Bcos??dl??B?L ?0OC段上产生的动生电动势为

??C?L?AO??(??B)?dl???Bcos(???)dl

O0??B?Lcos?

杆中的动生电动势为

???AO??OC??B?L(1?cos?)

方向由C到A，A点电势高。

?13. 磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在如图所

示位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外。当的感应电动势的大小和方向。

解：?AB??AC??CB

dB＞0时，求：杆两端dt?AC??d?1d323RdB??(?RB)? dtdt44dt