吉林省东北师大附中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析 下载本文

6.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),则an=() A. 2+lnn B. 2+(n﹣1)lnn

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法.

C. 2+nlnn D.1+n+lnn

分析: 把递推式整理,先整理对数的真数,通分变成选出正确选项. 解答: 解:∵

… ∴=

故选:A.

,用迭代法整理出结果,约分后

点评: 数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立,因此可将其中的n

换成n+1或n﹣1等,这种办法通常称迭代或递推.解答本题需了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项.

7.当点M(x,y)在如图所示的三角形ABC内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2),则实数k的取值范围是()

A. (﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) B. [﹣1,1] C. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D. (﹣1,1)

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题.

分析: 先根据约束条件的可行域,再利用几何意义求最值,z=kx+y表示直线在y轴上的截距,﹣k表示直线的斜率,只需求出k的取值范围时,直线z=kx+y在y轴上的截距取得最大值的一个最优解为(1,2)即可.

解答: 解:由可行域可知,直线AC的斜率=,

直线BC的斜率=,

当直线z=kx+y的斜率介于AC与BC之间时,C(1,2)是该目标函数z=kx+y的最优解, 所以k∈[﹣1,1], 故选B.

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值的方法反求参数的范围,属于基础题.

8.已知等差数列前n项和为Sn.且S13<0,S12>0,则此数列中绝对值最小的项为() A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D.第8项

考点: 等差数列的前n项和;数列的应用. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 由等差数列的性质可得a6+a7>0,a7<0,进而得出|a6|﹣|a7|=a6+a7>0,可得答案. 解答: 解:∵S13=

=

=13a7<0,

S12=

=

=6(a6+a7)>0

∴a6+a7>0,a7<0, ∴|a6|﹣|a7|=a6+a7>0, ∴|a6|>|a7|

∴数列{an}中绝对值最小的项是a7 故选C.

点评: 本题考查等差数列的前n项和以及等差数列的性质,解题的关键是求出a6+a7>0,a7<0,属中档题.

9.若直线y=kx+1与圆x+y=1相交与P,Q两点,且此圆被分成的两段弧长之比为1:2,则k的值为()

A. 或 B. C. 或 D.

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 综合题;直线与圆.

22

分析: 根据直线y=kx+1与圆x+y=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120(其中°O为原点),求出圆心到直线的距离;再根据点到直线的距离公式即可求出k的值.

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解答: 解:因为直线y=kx+1与圆x+y=1相交于P、Q两点,且此圆被分成的两段弧长之比为1:2,所以∠POQ=120°(其中O为原点),如图

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可得∠OPE=30°;OE=OPsin30°=,

即圆心O(0,0)到直线y=kx+1的距离d==所以k=故选:A.

点评: 本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,考查计算能力,求出圆心(0,0)到直线的距离是解题的关键.

10.下列函数中,y的最小值为4的是() A.

B.

x

﹣x

C.

考点: 专题: 分析: 解答:

D. y=e+4e

基本不等式.

不等式的解法及应用.

由基本不等式求最值的规则,逐个选项验证可得. 解:选项A错误,因为x可能为负数;

选项B错误,化简可得y=2(+)

由基本不等式可得取等号的条件为

2

=即x=﹣1,

2

显然没有实数满足x=﹣1;

选项C错误,由基本不等式可得取等号的条件为sinx=2, 但由三角函数的值域可知sinx≤1;

x

选项D,由基本不等式可得当e=2即x=ln2时,y取最小值4. 故选:D.

点评: 本题考查基本不等式求最值,涉及基本不等式取等号的条件,属基础题.

11.过直线x+y=0上一点P作圆(x+1)+(y﹣5)=2的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线y=﹣x对称时,∠APB=() A. 30° B. 45° C. 60° D.90°

考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆.

分析: 判断圆心与直线的关系,在直线上求出特殊点,利用切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形,求出∠APB的值.

解答: 解:显然圆心C(﹣1,5)不在直线y=﹣x上.

由对称性可知,只有直线y=﹣x上的特殊点,这个点与圆心连线垂直于直线y=﹣x, 从这点做切线才能关于直线y=﹣x对称.

所以该点与圆心连线所在的直线方程为:y﹣5=x+1即y=6+x, 与y=﹣x联立,可求出该点坐标为(﹣3,3),

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所以该点到圆心的距离为=2,

由切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形, 又知圆的半径为.

所以两切线夹角的一半的正弦值为

=,

所以夹角∠APB=60° 故选C.

点评: 本题是中档题,考查直线与圆的位置关系,直线与圆相切的关系的应用,考查计算能力,常考题型.

12.若a,b,c>0且a+2ab+2ac+4bc=12,则a+b+c的最小值是() A. B. 3 C. 2 D.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 压轴题.

2

分析: 因为a+b+c的平方与已知等式有关,现将(a+b+c)用已知等式表示,根据一个数的平方大于等于0得不等式,

2

然后解不等式得范围.

解答: 解:(a+b+c)=a+b+c+2ab+2ac+2bc=(a+2ab+2ac+4bc)+b+c﹣2bc=12+(b

2

﹣c)≥12,

当且仅当b=c时取等号, ∴a+b+c≥ 故选项为A

点评: 若要求的代数式能用已知条件表示,得不等式,通过解不等式求代数式的范围.

二、填空题:(每小题4分,共16分)

2

2

2

2

2

2

2

13.不等式组表示的平面区域的面积等于25.

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 计算题.

分析: 画出约束条件表示的可行域,求出交点坐标,然后求出三角形面积,即可求解 解答: 解:作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的三角形ABC 由由题意可得A(﹣2,2),B(3,7),C(3,﹣3) ∴BC=10,A到直线BC的距离d=5

∴S△ABC=故答案为:25

=25

点评: 本题考查二元一次不等式(组)与平面区域,考查学生作图能力,计算能力,是基础题.

14.点(x,y)在直线x+3y﹣2=0上移动时,z=2+8的最小值为4.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式.

分析: 根据基本不等式的性质进行计算即可.

xy