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【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知，a2+c2﹣b2=2accosB， 由题意知a2+c2﹣b2=ac， ∴cosB=，
又在△ABC中，A+B+C=π，∴sin则原式=cos2+cos2B=（Ⅱ）∵b=2，sinB=
，
=cos，
+2cos2B﹣1=2cos2B+cosB﹣=+﹣=﹣；
∴由a2+c2﹣b2=ac得：a2+c2﹣4=ac，即a2+c2=ac+4≥2ac， 整理得：ac≤，
∴S△ABC=acsinB≤sinB=则△ABC面积的最大值为
18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点． （I）求证：DE∥平面ABC；
（II）求证：平面AEF⊥平面BCC1B1．
， ．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（I）要证DE∥平面ABC，只需证明DE平行平面ABC内的直线DG（设G是AB的中点，连接DG）；
（II）欲证平面AEF⊥平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知，证AF⊥平面BCC1B1即可．
【解答】证明：（I）设G是AB的中点，连接DG，FG 则DGEC，
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所以四边形DECG是平行四边形，所以DE∥GC， 从而DE∥平面ABC．
（II）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC， ∴AF⊥CC1，
∵AB=AC，F为BC中点，∴AF⊥BC 又BC∩CC1=C， ∴AF⊥平面BCC1B1， 又AF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面BCC1B1．
19．用部分自然构造如图的数表：用aij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N+），使得ai1=aii=i．每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和．设第n（n∈N+）行的第二个数为bn（n≥2）．
（1）写出bn+1与bn的关系，并求bn（n≥2）； （2）设数列{cn}前n项和为Tn，且满足＜3．
，求证：Tn
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由题意可得bn+1=bn+n，n≥2，运用累加法，即可得到bn； （2）求得n≥2时，cn=
=2（
﹣），运用数列的求和方法：裂项相消
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求和，化简整理即可得到所求和，由不等式的性质，即可得证． 【解答】解：（1）由已知得b2=2，bn+1=bn+n，n≥2， 当n≥2时，b3﹣b2=2，b4﹣b3=3，…，bn﹣bn﹣1=n﹣1， 累加得bn﹣b2=2+3+…+n﹣1=（n﹣2）（n+1）， 则bn=1+n（n﹣1）（n≥2）； （2）证明：由
由（1）可得n≥2时，cn=
=2（
， ﹣）， ﹣）
前n项和为Tn=1+2（1﹣+﹣+…+=1+2（1﹣）=3﹣＜3．
20．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣1，2]，且函数f（x）在x=1和x=﹣处都取得极值． （I）求实数a与b的值；
（II）对任意x∈[﹣1，2]，方程f（x）=2c存在三个实数根，求实数c的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）求出f'（x），由题意函数f（x）在x=1和x=﹣处都取得极值．列出方程求解即可．
（2）原题等价于函数与y=f（x）与函数y=2c两个图象存在三个交点，求出f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），求出极值，列出不等式求解即可． 【解答】（本小题满分13分） 解：（1）f'（x）=3x2+2ax+b… 由题意可知
，…
解得…
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经检验，适合条件，所以…
（2）原题等价于函数与y=f（x）与函数y=2c两个图象存在三个交点，… 由（1）知f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），…， 令（3x+2）（x﹣1）=0，可得x=﹣，x=1；
x∈[﹣1，2]，当x∈（﹣1，﹣），x∈（1，2）时，f'（x）＞0，函数是增函数，
x∈（﹣，1）时，函数是减函数， 函数的极大值为：f（﹣）=c+
，f（2）=2+c＞c+
＞
极小值为：f（1）=﹣+c，f（﹣1）=∴x∈[﹣1，2]时， 可得
21．已知函数
，其中a＞0． ，∴
…
…
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；
（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；
（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间[1，e]上的单调性，进而求得其在区间[1，e]上的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=
，
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∴f′（x）=
f′（x）＜0?x＜0，或x＞2，
=，f′（x）＞0?0＜x＜2，
故函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），
（Ⅱ）设切点为（x，y）， 由切线斜率k=1=由x﹣y﹣1=x﹣把x=1代入①得a=1， 把x=把x=﹣
代入①得a=1，
代入①得a=﹣1（舍去），
，?x3=﹣ax+2a，①
﹣1=0?（x2﹣a）（x﹣1）=0?x=1，x=±
．
故所求实数a的值为1．
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1）， ∴g′（x）=lnx+1﹣a，解lnx+1﹣a=0得x=ea﹣1，
故g（x）在区间（ea﹣1，+∞）上递增，在区间（0，ea﹣1）上递减，
①当ea﹣1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；
②当1＜ea﹣1＜e时，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（ea﹣1）=a﹣ea﹣1； ③当ea﹣1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a﹣ae．
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