4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用

选题明细表

知识点、方法 两圆位置关系的判断 两圆相交问题 两圆相切问题 综合应用问题 基础巩固

1.已知圆C1:x+y+4x+2y-1=0,圆C2:x+y+2x+8y-8=0,则圆C1与圆C2的位置关系是( B ) (A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 解析:圆C1:x+y+4x+2y-1=0, 即(x+2)+(y+1)=6,

表示以C1(-2,-1)为圆心,半径等于圆C2:x+y+2x+8y-8=0, 即(x+1)+(y+4)=25,

表示以C2(-1,-4)为圆心,半径等于5的圆,

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题号 1,6 5,7,8,9 3,10,12 2,4,11,13 的圆.

所以两圆的圆心距d==,

因为5-<<5+,故两个圆相交.故选B.

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2.(2018·东莞高一期中)两圆x+y-4x+2y+1=0与x+y+4x-4y-1=0的公切线有( C ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

解析:因为圆x+y-4x+2y+1=0化为(x-2)+(y+1)=4, 它的圆心坐标为(2,-1),半径为2; 圆x+y+4x-4y-1=0化为(x+2)+(y-2)=9, 它的圆心坐标为(-2,2),半径为3.

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因为=5=2+3,

所以两个圆相外切,

所以两个圆的公切线有3条.故选C.

3.(2018·广东佛山高二期末)若圆C1:(x-1)+y=1与圆C2:x+y-8x+8y+m=0相切,则m等于( C )

(A)16 (B)7 (C)-4或16 (D)7或16

解析:圆C1:(x-1)+y=1的圆心为(1,0),半径为1,

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圆C2:x+y-8x+8y+m=0化为(x-4)+(y+4)=32-m,表示以(4,-4)为圆心,半径等于的圆,

由题意,两个圆相内切时,两圆的圆心距等于半径之差的绝对值,可得5=|m=-4,

-1|,解得

两个圆相外切,两圆的圆心距等于半径之和,可得5=综上,m的值为-4或16.故选C.

+1,解得m=16.

4.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过( B ) (A)1.4米

(B)3.5米

(C)3.6米

(D)2米

解析:建立如图所示的平面直角坐标系. 如图设篷顶距地面高度为h,

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则A(0.8,h-3.6)半圆所在圆的方程为x+(y+3.6)=3.6. 把A(0.8,h-3.6)代入得0.8+h=3.6, 所以h=4

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≈3.5(米).

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5.圆x+y-2x-5=0和圆x+y+2x-4y-4=0的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线方程为( A ) (A)x+y-1=0 (B)2x-y+1=0 (C)x-2y+1=0 (D)x-y+1=0

解析:直线AB的方程为4x-4y+1=0,因此它的垂直平分线斜率为-1,过圆心(1,0),方程为

y=-(x-1),即两圆连心线.故选A.

6.圆x+y+6x-7=0和圆x+y+6y-27=0的位置关系是 .

解析:圆x+y+6x-7=0的圆心为O1(-3,0),半径r1=4,圆x+y+6y-27=0的圆心为O2(0,-3),半径

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为r2=6,所以|O1O2|=

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=3,所以r2-r1<|O1O2|

7.两圆x+y-x+y-2=0和x+y=5的公共弦长为 . 解析:由

②-①得两圆的公共弦所在的直线方程为x-y-3=0, 所以圆x+y=5的圆心到该直线的距离为 d=

=,

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设公共弦长为l,

所以l=2=.

答案:

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8.求经过两圆x+y+6x-4=0和x+y+6y-28=0的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 解:法一 解方程组

得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2). 设所求圆的圆心为(a,b),

因为圆心在直线x-y-4=0上,故b=a-4.

则有

=,

解得a=,故圆心为(,-),